Etudier la continuité et la dérivabilité d'une fonction

Bonjour, je bloque sur mon exo sur les dérivations voici l'énoncé:

Soit f la fonction définie sur [0;pi] par f(x) = √(xsinx)

Etudier la continuité de f sur [0 pi]
Montrer que f est dérivable sur ]0;pi[
Vérifier que pour tout x appartenant ]0;pi[, f(x) = x√(sinx/x). Etudier alors la dérivabilité en 0.
Etudier la dérivabilité de f en pi
qu'est ce qu'il change parmi les résultat précédents si on considère maintenant que f est définie sur [-pi;pi]

Merci de votre aide

Bonsoir,

Pour la question 1, f est définie sur [0;pi] et ses composantes (√, x et sinx) sont continues sur cet intervalle donc elle l'est aussi.
Pour la question 2, saurais-tu calculer la dérivée de f ?

Cordialement.

Pour la 1 je dit V x et sin x sont continue comme fct de référence ou somme de fct continue ?

f'(x) = (sin x + cos x) * (1/(2√(x sin x))

c'est bon pour la dérivée ?

Pour la 1 je dit V x et sin x sont continue comme fct de référence ou somme de fct continue ?

f'(x) = (sin x + cos x) * (1/(2√(x sin x))

c'est bon pour la dérivée ?

Pour la 1, racine carrée, x et sin x sont continues et f est la composée de ces dernières.
Pour la dérivée, c'est presque ça. Je trouve: $sin⁡x+x,cos⁡x2,x,sin⁡x{{\sin x+x,\cos x}\over{2,\sqrt{x,\sin x}}}$ . Est-ce qu'on peut alors affirmer que f est dérivable sur ]0;π[ ?

comment tu as trouvé sa car moi j'ai fais u'v - uv' je trouve sin x + x cos x / 2V x cos x

J'utilise (√u)' = u'/(2√u) puis pour calculer la dérivée de x.sinx j'utilise (uv) = u'v + uv'. Avec u = x et v = sinx, cela donne (x.sinx)' = 1.sinx + x.cosx = sinx + x.cosx.

Ah oui d'accord ^^
oui f est derivable sur 0 pi ? il faut prouver ?

pour la 3 j'ai partit de la √(xsinx) pour trouver x√(sinx/x) puis j'ai fais
puis j'ai calculé la lim de f(x)-f(0) / x-0 en 0 et je trouve 0 c'est bon ?

L'expression de la dérivée étant f'(x) = $sin⁡x+x,cos⁡x2,x,sin⁡x{{\sin x+x,\cos x}\over{2,\sqrt{x,\sin x}}}$ , elle est définie sur ]0;π[ (car x = 0 et x = π correspondent à des valeurs interdites qui annulent le dénominateur).
Ensuite, pour la question 3, il faut bien calculer le taux d'accroissement en 0: (f(x)-f(0)) / (x-0) = √(sinx/x) qui tend vers 1 (et non 0) en 0. Donc f est bien dérivable en 0 et f'(0) = 1.
Pour la question 4, il faut cherche la limite du taux d'accroissement en π: (f(x)-f(π)) / (π-0).

pour la 3 tu trouve √(sinx/x) sa comme résultat final ? car moi j'ai trouvé autre chose c'est pour sa que je trouvais 0 peut être ^^

pour la 3 encore il faut partir de la √(xsinx) pour trouver x√(sinx/x) ou pas besoin ?

pour la question 4 lim √(sinx/x) de sa quand il tend vers pi c'est pi ?

UP stp c'est pour demain ^^

Pour la question 3, il faut écrire le taux d'accroissement en 0:
$f(x)−f(0)x−0{{f\left(x\right)-f\left(0\right)}\over{x-0}}$
= $x,sin⁡xx{{\sqrt{x,\sin x}}\over{x}}$
= $x,sin⁡xxx{{x,\sqrt{{{\sin x}\over{x}}}}\over{x}}$ , car f(x) = x√(sinx/x)
= $sin⁡xx\sqrt{{{\sin x}\over{x}}}$

or $sin⁡xx{{\sin x}\over{x}}$ tend vers 1 lorsque x tend vers 0 donc $sin⁡xx\sqrt{{{\sin x}\over{x}}}$ tend vers 1. Par conséquent f est dérivable en 0 et f'(0) = 1.

Pour la question 4, on procède de même mais en écrivant le taux d'accroissement en π:
$f(x)−f(π)x−π{{f\left(x\right)-f\left(\pi\right)}\over{x-\pi}}$ .
Dans ce cas, la limite est +∞ car le dénominateur tend vers $0^-$ et le numérateur vers -π. Donc f n'est pas dérivable en π.

Pour la question 5, on peut remarquer que la fonction est paire. En effet f(-x) = f(x). Elle est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Par conséquent, les résultats sont identiques sauf la dérivée en 0 (à gauche) qui vaut -1. J'ai joint le graphique qui illustre bien ceci.

Fonction racine(x.sin(x))

Merci de ton aide

De rien. Juste à temps pour demain. Ouf, nous sommes sauvés

oui ^^

par contre pour la 4 tu trouve cb au taux de variations car moi je trouve
V(x sinx)/x-pi

Ton résultat est juste. Le numérateur tend donc vers 0 (et non -π) et nous avons une limite indéterminée ! On peut lever l'indétermination en faisant la changement de variable X = π-x, X tendant alors vers 0 lorsque x tend vers π. On obtient:
$f(x)−f(π)x−π{{f\left(x\right)-f\left(\pi\right)}\over{x-\pi}}$
= $x,sin⁡xx−π{{\sqrt{x,\sin x}}\over{x-\pi}}$
= $−(π−x),sin⁡xx-{{\sqrt{\left(\pi-x\right),\sin x}}\over{x}}$ car sin(π-X) = sin X
= $−(π−x),sin⁡xx2-\sqrt{{{\left(\pi-x\right),\sin x}\over{x^{2}}}}$
= $−π−xx-\sqrt{{{\pi-x}\over{x}}}$ $sin⁡xx\sqrt{{{\sin x}\over{x}}}$

... si je ne me suis pas trompé ! La première racine tend vers +∞ lorsque X tend vers 0 et la seconde vers 1. L'ensemble tend donc vers -∞ et f n'est pas dérivable en π.

Oui merci de ton aide ^^