point invariant - complexes

Bonsoir,
Voila j'ai un exercice sur lequel une question me bloque. Voici l'énoncé:
" Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $(o;u⃗,v⃗)(o;\vec{u},\vec{v})$ (unité graphique: 2cm)
Soit A le point d'affixe 4 et soit la droite d d'équation x=4, privée de A.
A tout point M d'affixe z, M différent de A, on associe par une application f le point M' d'affixe z' telle que $z′=z−44−zˉz'=\frac{z-4}{4-\bar{z}}$ "
Les première questions porte sur des affixes que j'ai trouvé.
Mais c'est la quatrième question qui me gène, qui est:
"Définition: M est invariant par f si et seulement si f(M)=M
Démontrer que f admet un seul point invariant dont on déterminera l'affixe"

Merci d'avance

Bonjour,

f(z)=z

Tu dois résoudre l'équation :

$\text{ \frac{z-4}{4-\overline{z}}=z$

et peut-on remplacer z par x+iy ?

Tout à fait , avec x ∈ R et y ∈ R

Tu dois trouver x=-1 et y=0 d'où z=-1

désolé mais dès le départ je suis un peu bloqué, là je suis sur $x+iy−41×14−x+iy=z\frac{x+iy-4}{1}\times \frac{1}{4-x+iy}=z$

Comment progresser, Merci

tu dois remplacer z par x+iy dans chaque membre .

ah oui en effet j'avais oublié, mais la simplification n'est pas des plus... simple à trouver

j'arrive à: $x+iy−41=4x−x2+4iy−y2\frac{x+iy-4}{1}=4x-x^{2}+4iy-y^{2}$

tu fais les produits en croix :

$(x + i y - 4) = (x + i y) (4 - x + i y)$

Tu développes , tu simplifies puis tu identifies les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles.

nos réponses se sont croisées...

$x+iy-4=4x-x^{2}+4iy-y^{2}$ est bon

ah oui en effet elle se sont croisé

c'est pareil !

diviser par 1 revient à ne rien faire...

oui désolé je n'ai pas du tout réfléchi sur ce coup-ci... (J'ai honte)

Par contre je reste bloqué sur mon égalité

$x-4)+iy=(4x-x^2-y^2)+4iy$

tu identifies les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles.

tu obtiendras deux équations pour trouver x et y

on obtient donc:
$3x-4+x^{2}+y^{2}=3iy$
donc on sépare les réelles et les imaginaires
Mais je vois franchement pas comment on trouve y et x, je dois être aveugle :frowning2:

Tu peux faire ainsi , si tu le souhaites .

Alors , réfléchis dans quel cas un nombre réel est égal à un nombre imaginaire pur .

et bien un nombre réel n'est jamais égal à un imaginaire pur, il faut que la partie imaginaire soit égale à 0

clarifie ton idée . C'est confus.

Cela veut donc dire que dans notre égalité, y=0
Donc par la suite on a:
$3x-4+x^{2}=0$
$3x+x^{2}=4$
Et encore une fois je bloque...

oui , ca se précise. .

$x^2-3x-4=0$ est une équation du second degré à résoudre.

Tu vas trouver deux solutions mais avec la condition M ≠ A , il ne t'en restera qu'une.

D'accord, donc:
$x^{2}-3x-4=0$
$δ=−32−4×1×(−4)\delta =-3^{2}-4\times 1\times (-4)$
$δ=25\delta =25$
Donc:
$x_{1}=4$ et $x_{2}=-1$
A=4 M≠A, donc x=-1

Merci énormément pour votre aide et votre partage de savoir

Et donc au final l'affixe de de f est -1

OUI ! x=-1 et y=0 donc z=-1+0i=-1

Je pense que tu as voulu dire que l'affixe du point invariant par f est -1.

ah oui en effet je l'ai mal formulé
et encore merci

De rien.

a+