Résoudre un problème avec nombre d'or

1ère Partie:

Le nombre d'or est le nombre irrationnel noté par la lette grecque φ tel que $http://upload.wikimedia.org/math/c/c/b/ccbe13dbc2343df2566aae7919960d2e.png$
Donner une valeur approchée à $10^{-6}$ du nombre d'or.

2éme Partie:

Construis un carré ADNM de côté 1 dm. On appelle O le milieu du segment [DN].
Trace le cercle de centre O, de rayon [OA]. Ce cercle coupe la demi-droite [DN) en C.
Construis le rectangle NCBM.
Calcule la valeur exacte de OM, puis démontre que:

AB=DC= $http://upload.wikimedia.org/math/7/0/e/70e860be60f52ced1d2fd328d5fda675.png$

REMARQUE: le rectangle ABCD est appellé rectangle d'or car la proportion entre sa longueur et sa largeur est égale au nombre d'or.

3ème Partie:

Montre que le nombre d'or est solution de l'équation x²-x-1 = 0

4ème Partie: (construction d'une spirale d'or)

Construis la figure de la 2ème Partie sur une feuille blanche.
Construis le carré NCRS sachant que R est un point de [BC].
On admettra que le rectangle SRBM est aussi un rectangle d'or.
Construis en suivant le même procédé trois autre rectangle d'or.Trace ensuite un quat de cercle de centre M et d'extrémités N et R.
Tu as tracé le début d'une spirale appellée "spirale d'or".
Poursuis la construction de la spirale d'or dans les autres rectangles d'or en utilisant le même procédé.

bah voila en fait c'est surtout aux deux premières parties que je bloque...

Bonsoir Kirito,

Les deux premières questions concerne une construction, ou est le problème ?

bah je ne sais pas vraiment ce qu'est une valeur à $10^{-6}$ et pour la 2) je ne sais pas du tout comment démontrer que AB=DC= $http://upload.wikimedia.org/math/7/0/e/70e860be60f52ced1d2fd328d5fda675.png$

exposant -6, donc 6 chiffres après la virgule.

Utilise le théorème de Pythagore.

pour la valeur de MO je trouve un nombre avec plein de chiffres après la virgule donc pour la valeur exacte je fais comment ? et pour démontrer que AB=DC= $http://upload.wikimedia.org/math/7/0/e/70e860be60f52ced1d2fd328d5fda675.png$ je ne sais toujours pas comment faire

Indique tes calculs.

bah pour la 1) c'est ≈1.618034 ?

et pour le 2):

MN²+ON² = OM²
1²+0.5² = OM²
1+0.25 = OM²
1.25 = OM²
OM = √1.25 (OM est une longeur donc OM>0)
OM ≈ 1.1

le problème c'est que c'est une valeur approchée et il est dit qu'il faut trouver une valeur exacte et pour le reste je ne sais même pas comment faire

Valeur approchée juste.

1,25 = 5/4
et √(5/4) = √5/ 2
donc OM = ....

aok merci heureusement que tu m'aide parce que je crois que je n'aurais pas trouvé seul
ça donne donc OM = √5/2 mais c'est une valeur exacte ça ??

et comment dois-je m'y prendre pour démontrer que AB=DC= $http://upload.wikimedia.org/math/7/0/e/70e860be60f52ced1d2fd328d5fda675.png$ ??

Oui √5 / 2 est la valeur exacte
1,1180 est une valeur approchée, tu n'as pas écrit tous les chiffres situés après la virgule.

DC= DO + OC
et OC = OA = OM,
donc .....

je ne comprends pas pourquoi OC = DO + OC ??

Les points D, O, N et C sont sur la même droite (DC)

euh nan je me suis trompé dans les points désolé je voulais dire que je ne comprends pas pourquoi OC = OA = OM

ADNM est un carré et O milieu du segment [DN], soit OA = OM.
On trace le cercle de centre O et de rayon OA, il coupe la demi droite [DN) et C, donc OA = OC.
D'ou
.....

donc DC = DA = (0.5+√5)/2 ??

Non

DC = DO + OC = 1/2 + √5/2 =
(1 + √5)/2

ah d'accord merci beaucoup

et pour la 3ème Partie je n'y arrive pas non plus:

j'en suis à

x²-x-1 = 0
(1√5/2)² -1√5/2 -1 = 0
(1+5)/4 - (1+√5)/2 -1 = 0
(1+5)/4 - 2(1+√5)/4 - 4/4 = 0
(1+5-2+2√5)/4 = 0
4+2√5 = 0

et là je bloque mais je suis persuadé que ces calculs sont déja faux

désolé du bouble post mais serait-il possible de me répondre car ça commence à devenir assez urgent étant donné que je dois rendre mon devoir ce Lundi 12 Novembre.

merci de votre compréhention

x²-x-1 = 0
((1+√5)/2)² -(1+√5/2) -1 = 0
(1+2√5+5)/4 - (1+√5)/2 -1 = 0
(1+2√5+5)/4 - 2(1+√5)/4 - 4/4 = 0
(1+5-2-4+2√5-2√5)/4 = 0

merci de ta réponse qui plus est rapide mais je ne comprends pas pourquoi, dans la 4ème ligne, le produit 2(1+√5) apparait comme 2√5dans la 5ème ligne car je pensais que ça aurait plutôt été 2+2√5 ??

(1+2√5+5)/4 - 2(1+√5)/4 - 4/4 = 0
(1 + 2√5 + 5 - 2 - 2√5 - 4)/4 =
(1+5-2-4+2√5-2√5)/4 = 0

ça ne searait pas plutot

(1 + 2√5 + 5 - 2 + 2√5 - 4)/4

Pourquoi +

par + donne .....

parce que 2(1+√5) = 2×1+2√5 ?

Exact :
2(1+√5) = 2×1+2x√5
et

2(1+√5) = - 2×1- 2x√5

je ne comprends toujours pas car le signe dans les parenthèse est un + donc ça devrait être une somme de deux produits et non pas une différence ??

quand tu multiplies par un nombre négatif, tu changes tous les signes des termes qui sont entre parenthèses.

c'est bon j'ai compris mon erreur je faisais avec 2 comme facteur et pas -2

bref je récapitule pour être sûr:

***1) une valeur approchée du nombre d'or à $10^{-6}$ est 1.618034

2)On a un triangle MNO rectangle en N tel que ON= 1/2 dm et MN=1 dm
Donc d'après le théorème de Pythagore on a:
MO² = MN² + ON²
MO² = 1² + (1/2)²
MO² = 1 + 1/4
MO² = 1.25

Or 1.25 = 5/4 d'où

MO = V(5/4)
MO = V5/2

Donc OM = V5/2

On a un carré ADNM de côté 1 dm tel que O est le milieu de [DN] avec OM= V5/2 dm ainsi que le cercle de centre O et de rayon [OA] qui coupe [DN) en C. De plus on a le rectangle MNCB.

Donc

DC = DO + OC
DC = 1/2 + V5/2
DC = (1 + V5)/2

ADCB est un quadrilatère tels que les angles A, D, C, B sont droits.
Or un quadrilatère ayant au moins un angle droit est un rectangle.
Donc ADCB est un rectangle .

Or si un quadrilatère est un rectangle alors c'est un parallélogramme
Donc ADCB est un parallélogramme

Or un parallélogramme a ses côtés opposés de même longueur donc
AB = DC = (1+V5)/2

x² - x - 1 = 0

(1+√5)²/2² - (1+√5) - 1 = 0
(1²+2×1×√5+√5)/4 - 2(1+√5)/4 - 4/4 = 0
(1+2√5+5-2-2√5-4)/4 = 0
0/4 = 0
0 = 0

Donc le nombre d'or est bien solution de l'équation x² - x - 1 = 0[/u]*******

encore vraiment désolé du double post mais j'up ce sujet car je dois rendre mon devoir demain et j'ai donc vraiment besoin d'un avis et éventuellement d'une correction sur ma préparaion du post précédent

merci .

et pour le 2) b. j'ai refait une démonstration qui me parait meilleure. la voici:

On a un carré ADNM.
Or si un quadrilatère est un carré alors c’est un parallélogramme.
Donc ADNM est un parallélogramme.

Or un parallélogramme a ses cotes opposés de même longueur.
Donc AM = DN

On a un rectangle MNCB.
Or si un quadrilatère est un rectangle alors c’est un parallélogramme.
Donc MNCB est un parallélogramme.

Or un parallélogramme a ses cotes opposés de même longueur.
Donc NC = MB

Ainsi AM = DN et NC = MB donc AB = AM + MB = DN + NC = DC
Or DC = (1+V5)/2 donc AM=DC= (1+V5)/2

Pour montrer que DC = AB,

MNCB est un rectangle donc (CN) parallèle à (MB) et CN = MB
l'angle AMN = 90° et l'angle NMB = 90 donc les points A, M et B sont alignés.
Comme MA = Nd et MB = NC, alors DC = AB.

donc j'ai simplement oublié de mentionner que A,M,B sont alignès et D,N,C sont également alignès c'est bien ça ??

Ce n'est pas tout à fait la même démonstration.

par contre notre professeur nous demande de citer chaque propriété utilisé donc je ne peux pas vraiment faire comme toi et partir d'un rectangle je dois obligatoirement dire que ADCB est un quadrilatère tels que les angles A, D, C, B sont droits et si un quadrilatère a au moins 3 angles droits c'est un rectangle.
je dois ensuite démontrer que ce rectangle est un parallélogramme et ainsi dire que les cotés opposés sont de même longueur donc AB=DC= (1+V5)/2

Dans la démonstration, je n'ai pas utilisé le quadrilatère ABCD.

ah oui je viens de comprendre dsl

bon ben je viens de rendre mon devoir donc merci pour tout et à bientôt ^^