théorèmes de Wittenbauer, de Varignon



  • toujours das ma recherche de theoreme je souhaite savoir si quelqu'un connait ce fameux théorème de Wittenbauer, c'est par rapport au barycentre d'un quadrilatère je crois et si vous avez la demonstration c'est encire mieux merci a tous car google ne m'a rien donné

    Ce n'est pas le barycentre des sommets, mais le centre de gravité (ou d'inertie ?) de la "plaque quadrilatère" (ou quadrangulaire) qui est en jeu ; voir ci-dessous (N. d. Z.).



  • Sur ce schéma, les points "bleus" constituent un partage au tiers des côtés du quadrilatère ABCD.
    Il est clair que le quadrilatère rouge UVWX (obtenu en "reliant les tiers par paire") est un parallélogramme.

    http://pix.nofrag.com/59/70/b653f0e65693c792db22fd183246.png
    Le théorème de Wittenbauer dit que le centre du parallélogramme UVWX est le centre de gravité de la plaque quadrangulaire ABCD.

    Tiens-nous au courant de tes recherches, titor !



  • euh j'ai un peu de mal à demontrer ce theoreme prouver que c'est un parallélogramme c'est facile mais aprés trouver la relation entre le parallélogramme et le quadrilatère c'est plus difficile ça doit etre une histoire de barycentre mais je ne trouve pas

    si quelqu'un à une idée se serait trés gentil...

    merci d'avance



  • Revenons à ce post intéressant.

    Tout d'abord, une propriété du parallélogramme de Varignon (obtenu en joignant les milieux des côtés d'un quadrilatère).

    Propriété :

    Le centre de ce parallélogramme est confondu avec le barycentre des sommets du quadrilatère ABCD (i.e. de quatre masses égales disposées aux sommets A, B, C et D).

    (Je mettrai qq figures plus tard)

    Rq :
    Wittenbauer concerne la plaque quadrangulaire supposée homogène.



  • Voici le point I, intersection des diagonales du parallélogramme de Varignon :

    http://pix.nofrag.com/49/0e/ab6e1b300317df64a4a43b3172a0.png

    Voici le barycentre du système formé par les quatre sommets A, B, C et D - construit par associativité : F est le centre de gravité de BCD, G est au 3/4 de AF à partir de A :

    http://pix.nofrag.com/1c/fa/3639dc6f6200ca44d08eb6969b13.png

    Voici la superposition des deux constructions :

    http://pix.nofrag.com/79/f8/2c607051edd5047f0fdd27688ee0.png

    On voit que G = I.

    Titor : une preuve ?

    Ce résultat - si on l'admet - permet une construction rapide de l'isobarycentre de quatre points.



  • Ah ! titor n'est plus parmi nous.

    Avec mes figures ci-dessus, T est l'isobarycentre de A et D ; Y est celui de B et C.
    Par associativité, l'isobarycentre G de A, B, C et D est donc bien celui de Y et T, soit I.

    Une autre propriété du parallélogramme de Varignon est que son aire vaut la moitié de celle du quadrangle (quadrilatère ?) initial ABCD.



  • Quant à la suite, avant de se mettre à Wittenbauer, il faut noter d'abord - et ce n'est pas qu'une question de sémantique - que le centre de gravité (ou d'inertie ?) d'un triangle ABC est confondu avec l'isobarycentre des trois points A, B et C.

    http://pix.nofrag.com/6d/cf/7e9efb96c3e9fdfca2acd6161d13.png



  • Pardon je suis vraiment désolé je viens de demenager et on a eu quelque probleme avec la connection me revoila je suis de retour et ca me fait trés plaisir de voir que mes sujets sont interessants.



  • c'est vraiment trés trés interessant parce que un barycentre de 4 points c'est souvent trés long à placer avec le theoreme d'associativité là on ne fais vraiment aucun effort!
    seulement la demonstration generale m'interesse vraiment il doit surement y avoir une relation importante par rapport au poids docn au barycentre mais c'est vrai que je n'y suis pas arrivé avec Wittenbauer je vais me remettre dans mes recherches!
    Merci beaucoup Zauctore



  • La demonstration de l'aire est trivial avec le theoreme des milieux mais pourtant je n'en avais jamais entendu parlé...


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