Exercice sur la continuité!



  • Bonjour,
    dans mon cours on a écrit que " une fonction est continue sur R si elle est continue en tout point de R.
    Mais je voudrais savoir concrètement comment on peut le mettre en pratique, car j'ai un exercice et je n'arrive pas à le commencer.

    Soit f la fonction définie par f(x)= x sin(x) - cox(x) si x < 0
    f(x)= x2x^2 -1 si 0 <= x < 1
    f(1)= 2
    f(x)=x2f(x)=-x^2 + 3x si x > 1

    Il faut étudier la continuité de f sur R, puis dire si la fonction est dérivable en 0 puis en 1.

    Mais dans un exercice on l'a fait dans l'autre sens, enfin on a montré que la fonction était dérivable en un point pour prouver sa continuité.
    Pouvez-vous me donner une piste? Je vous remercie d'avance
    Mélanie



  • ta fonction est definie de 3 façons sur 3 intervalles differents
    ]-infini;0[ U [0;1[ U ]1;+infini[

    on ne peut donc pas dire qu'elle est continue sur R
    il faut etudier les points de raccords de f entre tes 3 intervalles
    étude en 0 :
    f(0)= 0²-1=-1
    et lim x sin(x)-cos(x)=-1 (qud x->0) on trouve la meme valeur que pour f(0)
    donc f est continue en 0
    étude en1 :
    on sait que f(1)=2 (par hypothese)
    et lim -x²+3x= 2 (quand x->1) on trouve la meme valeur que pour f(1)
    donc f est continue en 1

    conclusion f est continue partout (sur R)

    pour la derivabilité tu dois calculer deux limites
    en 0
    lim (f(x)-f(0))/(x-0) et si tu trouves un nombre ce sera f'(0)
    en 1
    lim (f(x)-f(1))/(x-1) et si tu trouves un nombre ce sera f'(1)

    RAPPEL DE COURS: "f dérivable en a implique f est continue en a"
    la réciproque est fausse :razz:



  • La dérivée c'est bon ca j'y arrive...
    Merci beaucoup.


Se connecter pour répondre
 

Il semble que votre connexion ait été perdue, veuillez patienter pendant que nous vous re-connectons.