Exercice sur la continuité!

[mélanie]

Bonjour,
dans mon cours on a écrit que " une fonction est continue sur R si elle est continue en tout point de R.
Mais je voudrais savoir concrètement comment on peut le mettre en pratique, car j'ai un exercice et je n'arrive pas à le commencer.

Soit f la fonction définie par f(x)= x sin(x) - cox(x) si x < 0
f(x)= $x^2$ -1 si 0 <= x < 1
f(1)= 2
$f(x)=-x^2$ + 3x si x > 1

Il faut étudier la continuité de f sur R, puis dire si la fonction est dérivable en 0 puis en 1.

Mais dans un exercice on l'a fait dans l'autre sens, enfin on a montré que la fonction était dérivable en un point pour prouver sa continuité.
Pouvez-vous me donner une piste? Je vous remercie d'avance
Mélanie

[karim1290]

ta fonction est definie de 3 façons sur 3 intervalles differents
]-infini;0[ U [0;1[ U ]1;+infini[

on ne peut donc pas dire qu'elle est continue sur R
il faut etudier les points de raccords de f entre tes 3 intervalles
étude en 0 :
f(0)= 0²-1=-1
et lim x sin(x)-cos(x)=-1 (qud x->0) on trouve la meme valeur que pour f(0)
donc f est continue en 0
étude en1 :
on sait que f(1)=2 (par hypothese)
et lim -x²+3x= 2 (quand x->1) on trouve la meme valeur que pour f(1)
donc f est continue en 1

conclusion f est continue partout (sur R)

pour la derivabilité tu dois calculer deux limites
en 0
lim (f(x)-f(0))/(x-0) et si tu trouves un nombre ce sera f'(0)
en 1
lim (f(x)-f(1))/(x-1) et si tu trouves un nombre ce sera f'(1)

RAPPEL DE COURS: "f dérivable en a implique f est continue en a"
la réciproque est fausse :razz:

[mélanie]

La dérivée c'est bon ca j'y arrive...
Merci beaucoup.