Arithmétique-Congruences

Bonjour !

Pourriez-vous m'aider pour mon exercice sur les congruences :

Soit (E) l'équation x²-7y²=0 où x et y sont deux entiers.
1/ Justifier que si le couple (x;y) est solution de (E) alors x=3[7]
2/ Détermiber les restes possibles de x² par 7
3/ L'équation (E) a-t-elle des solutions ?

Je bloque dès la première question...
Certes x=√7 y, mais ça ne m'avance pas trop je crois.

Merci d'avance pour votre aide

Bonsoir,

Cet énoncé n'est pas bon..tu devrais revoir l'équation (E)

Avec l'équation (E) que tu as donnée , la question 1) devient inexacte car x≡0[7] convient.

Mon énoncé est pourtant bon (du moins c'est ce que mon prof m'a donné) ...
Effectivement avec 0 au lieu de 3, l'exercice marcherait mais malheureusement je n'ai pas ça ...

Effectivement , avec $x^2-7y^2=3$ , l'exercice aurait un sens pour conclure que (E) n'a pas de solutions entières mais à la question 1) il aurait fallu indiquer :
$x2≡3[7]x^2 \equiv 3 [7]$ ...

Je ne vois pas d'autre solution que demander à ton professeur de revoir l'énoncé.

Merci pour cette première réponse
Et si on disait que x est congru à 0 modulo 7, ça marcherait ?
(Sinon, je pense que je vais vérifier avec mon professeur^^)

Citation
je pense que je vais vérifier avec mon professeur

C'est la seule chose à faire !

Pour chercher les entiers tels que x²-7y²=0 les questions posées ne servent à rien ! ! !

Raisonne simplement : x²=7y²

Pour y=0 , tu obtiens x=0 ( 0 est bien un multiple de 7 , pour faire le lien avec la question 1)

Donc le couple (0,0) est solution

Pour y≠0 , on peut diviser par y²

$x2y2=7\frac{x^2}{y^2}=7$

Deux cas : $xy=−7\frac{x}{y}=\sqrt 7 \ ou\ \frac{x}{y}=-\sqrt 7$

Dans chacun des deux cas , le membre de droite est irrationnel

x et y cherchés étant entiers , $xy\frac{x}{y}$ est rationnel

Les égalités sont impossibles.

Le seul couple-solution est le couple trivial (0,0)

Bonsoir !

J'ai eu la réponse de mon professeur. Il m'a dit que l'équation devrait être égale à 3 et non à 0. Mais au final, il nous a dit de ne pas le faire ... voilà !

C'est bien l'analyse faite : avec 3 l'exercice avait un sens...

Merci Laula d'avoir pensé à donner la conclusion .

Peut-être qu'au prochain exercice , il n'y aura pas d'erreur d'énoncé.