développement identité remarquable

bonjour, je voudrais que quelqu'un m'aide à développer :$(x+\sqrt{1+x^2})^3 \$

Bonjour,

Ton écriture est confuse !

Est-ce $(x+1+x2)2(x+\sqrt{1+x^2})^2$ ?

Si c'est cela , tu poses $b=1+x2a=x\ et\ b=\sqrt{1+x^2}$

Ainsi $a^2=x^2\ et\ b^2=1+x^2$

Tu utilises $a+b)^2=a^2+b^2+2ab$

c'est presque cela, juste c'est le tout au carré mais au cube

donc je pense que je dois faire cela :
x= a et √1+x² = b
puis : = (a+b)²(a+b)
= (a²+2ab+b²)(a+b)
= a³+a²b+2a²b
c'est juste ?

Excuse , je n'avais pas vu le cube.

Ton départ est juste , mais le développement de (a+b)²(a+b) est inexact car il manque des termes dans le développement

$a+b)^3=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3+2a^2b+b^2a+a^2b+2ab^2+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

ah oui c'est vrai, merci beaucoup pour votre aide en tout cas !

Pour que tu puisses vérifier , je te donne la réponse finale après développement et regroupements utiles :

$(x+1+x2)3=4x3+3x+(4x2+1)1+x2(x+\sqrt{1+x^2})^3=4x^3+3x+(4x^2+1)\sqrt{1+x^2}$

Ce n'est pas très beau mais il n'est pas possible de faire mieux...

d'accord merci c'est gentil je vais vérifier !

j'ai un petit problème, je ne comprend pas comment vous êtes arrivés a ce résultat pouvez-vous mettre les étapes d'avant ? merci

J'ai appliqué tout simplement l'expression de $a+b)^3$ trrouvée précédemment.

Le problème que tu as pu rencontrer , c'est la transformation de $b^3$

$b3=(1+x2)3=(1+x2)2×1+x2=(1+x2)1+x2b^3=(\sqrt {1+x^2})^3=(\sqrt{1+x^2})^2\times \sqrt{1+x^2}=(1+x^2)\sqrt{1+x^2}$

Le reste me semble simple.

en fait, j'ai du ne pas comprendre une étape avant car je ne comprend pas d'ou sorte les 4, par exemple 4x³ ?

$4x^3$ est la somme de $3x^3$ avec $x^3$

$(x+1+x2)3=x3+3x21+x2+3x(1+x2)+(1+x2)1+x2(x+\sqrt{1+x^2})^3=x^3+3x^2\sqrt{1+x^2}+3x(1+x^2)+(1+x^2)\sqrt{1+x^2}$

Tu continues les transformations.

pour la transformation de a³=x³
3a²b=3x²*(√1+x²)= ?
3ab²=3x(1+x²)=3x+3x³
et b³ ce que vous avez noté au-dessus est-ce correct ? et pour 3a²b, je ne sais pas comment faire ..

$3a2b=3x21+x23a^2b=3x^2\sqrt{1+x^2}$

Pour ce terme , tu ne peux rien faire de mieux .

Mais sinon le reste est juste ?

Si tu parles de 3ab²=3x(1+x²)=3x+3x³ , c'est bon.

d'accord, merci beaucoup !