Etudier le sens de variation et la convergence d'une suite

[Samia]

Bonsoir,

Cela fait plusieurs jours que je m'acharne sur un même exercice, j'ai tout essayé et pourtant je ne trouve toujours pas la solution.
Voici l'énoncé :

1. Montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, l'équation ${2x^3 + 3x^2 -n=0$ a une unique solution notée $x_n$ et que $x_n,\ge ,0$ .

Donc j'ai fait une étude de fonction, j'ai dérivé et j'ai obtenu $6x^2-6x$ ce qui donne $6x(x+1)$ et j'obtiens le tableau de variations qui permet de conclure que l'équation n'a qu'une seule solution pour x=0 et c'est -n, (ensuite cela tend $+\infty$ , donc ce sera la seule fois où il y aura une intersection à l'axe des abscisses).
2. Représenter graphiquement la fonction f :
${x \rightarrow {2x^3+3x^2}$ sur $[0;+\infty ]$ (à la main ou sur un logiciel) et placer sur le graphique $x_2,x_3,x_4$.

J'ai réussi à placer les points sur le graphique

3. Déterminer le sens de variation de la suite $(x_n)$

C'est à partir de là que je n'arrive plus. Peut-on se servir de $2x^3+3x^2-n$ ? On m'a dit que non, alors j'ai pensé à démontrer par récurrence et je bloque à l'hérédité. Je n'arrive pas à prouver que $u_n+1,\ge ,u_n$

4. Montrer que la suite $(x_n)$ ne peut pas converger.

Faut-il faire un raisonnement par l'absurde en supposant qu'elle converge vers un réel M ? Encore une fois, je n'ai aucune idée de la forme que cela peut prendre.

5. En déduire que la suite $(x_n)$ diverge vers $+\infty$

Je pense pouvoir le faire avec les indications précédentes, mais rien n'est sûr, un peu d'aide serait la bienvenue.

Merci d'avance et bonne soirée.

[mtschoon]

Bonjour,

Je regarde ta première question.

Je comprends mal ta conclusion. Peut-être t'es tu seulement mal exprimé ...

D'après l'étude des variations , la fonction f prend des valeurs strictement négatives pour x appartenant à ]-∞, 0] , donc sur cet intervalle l'équation $2x^3+3x^2-n=0$ n'a pas de solution.

Sur ]0,+∞[ , f est continue , strictement croissante et prend des valeurs appartenant à ]-n,+∞[
On sait que -n < 0
D'après le théorème des valeurs intermédiaires , il existe donc une seule valeur $x_n$ de ]0,+∞[ telle que $f(x_n)=0$

L'équation $2x^3+3x^2-n=0$ n'a donc qu'une solution $x_n$ appartenant à ]0,+∞[

Pour la seconde question, il y a encore quelque chose de confus...

Tu parles de représenter x ->$2x^3+3x^2$ cela correspond à n=0 alors que l'énoncé précise n ≥ 2 ? ? ?

Il faut représenter f pour n=2 , puis pour n=3 , puis pour n=4

$x_2$doit ëtre la solution de $2x^3+3x^2-2=0$
$x_3$doit ëtre la solution de $2x^3+3x^2-3=0$
$x_4$doit ëtre la solution de $2x^3+3x^2-4=0$

0.6 < $x_2$ < 0.7
0.8 < $x_3$ < 0.9
0.9 < $x_4$ < 1

Pour la question 3

Qui est $x_n$ ? c'est $x_n$ ?