Étude de fonction

Bonjour, je suis en terminale S, j'ai un exercice à faire mais je le trouve assez dense vu que je ne suis pas très à l'aise avec les fonctions exponentielles et les algorithmes. Merci beaucoup à ceux qui m'aideront .

Soit f la fonction définie et dérivable sur R par f(x) = 2x - 4 + $e^{-2x+1}$
Dans la suite on notera :
Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal.
Δ la droite d'équation y = 2x - 4

Étudier les limites de la fonction f aux bornes de l'intervalle de définition. ( j'étudie limite de 2x+4 , limite de e $^{-2x+1}$ ? )
Démontrer que l'image de 1/2 par la fonction f est un nombre entier. (je remplace 1/2 par x ? )

On pose pour tout réel x , E(x) = f(x) - 2x + 4

a) Déterminer la limite de la fonction E en +∞ et en -∞ . (je calcule f(x)-(2x+4) ? )
b) Que peut-on dire de la courbe Cf par rapport à Δ ?
c) Étudier la position de la courbe Cf par rapport à la droite Δ . (je soustrais Δ à Cf ?)
Étudier les variations de la fonction f . (je calcule la dérivée)
a) Démontrer que l'équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions réelles α et β avec α < β . (je m'aide du tableau de variation et du théorème des valeurs intermédiaires )

Voici un algorithme :

Saisir a, b, c
Tant que b - a ≥ e
m prend la valeur (a + b)/2
Si f (a) x f (b) ≤ 0
alors b prend la valeur m
sinon a prend la valeur m
Fin Si
Fin tant que
Afficher a et b

b) Quel est le rôle de l'algorithme ?
c) Faire fonctionner, "à la main", l'algorithme pour a = 0,5 , b = 8 et e = 1 .
d) Programmer l'algorithme et donner un encadrement de α et β au dixième près.