Nombres complexes.

Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre ce petit exercice. Est ce que vous pourriez me donner des pistes pour que je puisse le faire ... ?

Déterminer le ou les nombres complexes z vérifiant simultanément les deux conditions :

2z-izbard+1 est imaginaire pur
(z-2)(zbard-i) est réel pur

Je sais que pour que z soit un imaginaire pur, il faut que z=zbard et que Ré(z)=0.
Pour que z soit un réel pur, il faut que z=-zbard et que Im(z)=0.
Mais après, je sais pas comment résoudre ça ...

Merci d'avance !

Bonsoir,

Je pense que le plus simple est de poser $z = x + i y$ , avec x réel et y réel

Ainsi $z‾=x−iy\overline z=x-iy$

Tu mets chaque explession sous forme algébrique.

La première sera A +iB
La seconde sera A'+iB'

Tu obtiendras ainsi le système d'inconnues x et y à résoudre :

$\left{a=0\b'=0\right$

Ce qui donne :

2(x+iy)- i( x-iy)+ 1
(x+iy -2)(x-iy-i)

Et ensuite, je développe ?

Oui , tu developpes puis tu mets i en facteur , pour obtenir chaque expression sous forme algébrique.

Par exemple, pour la première expression, je trouve :
2x-y+i(2y-x)

Et pour la deuxième :
x²-2x-y + i(-x+y)+2i
Est ce bien ça ... ?

Ensuite, je fais quoi ? Il faut que pour la première expression 2x-y+1=0 ? Et pour la deuxième expression, ça donne quoi ?

Tes réponses sont bizarres...

Je te conseille de recompter

Pour la première il semble manquer "+1" à la partie réelle.
Pour la seconde , refait le calcul en totalité.

Ensuite , pour la méthode , tu relis ma première réponse.

En effet, j'avais oublié "+1" ... --'
Pour la première expression, je trouve :
2x-y+1+i(2y-x)

Pour la deuxième expression :
x²+y²-2x+y+i(2y-x+2)

Donc, pour la première expression il faut que 2x-y+1=0 car sa partie réelle doit être nulle. Et pour la deuxième expression il faut que 2y-x+2=0 car il faut que sa partie imaginaire soit nulle. Et donc, je résouds le système ? C'est bien ça ?

Ta dernière réponse est bonne .

Il te reste à résoudre le système :

$\left{2x-y+1=0\-x+2y+2=0\right$

Merci de m'avoir aidé ! J'ai compris

C'était avec plaisir !

J'espère que tu as trouvé $y=−53x=-\frac{4}{3}\ et \ y=-\frac{5}{3}$ , d'où :

$z=−43−53iz=-\frac{4}{3}-\frac{5}{3}i$

En effet, j'ai bien trouvé ce résultat.

Parfait !