Résoudre un problème d'optimisation à l'aide des fonctions

Bonjour à tou(tes)s, j'ai un dm à rendre pour mercredi mais je bloque sur un problème d'optimisation.
L'énoncé est le suivant :
"Albert est un fervent adepte de la plongée sous-marine. Alors qu'il se trouve en A et s'émerveille devant la beauté du paysage aquatique, il aperçoit un requin d'une taille qui le dissuade de poursuivre plus avant son exploration des fonds marins et décide de rejoindre son bateau situé en B. A quel endroit doit-il rejoindre la surface pour que le temps de parcours soit minimal ?

$fichier math$
Grâce à l'adrénaline, Albert se déplace à la vitesse de 7.2km/h sous l'eau et à la vitesse de 9km/h en surface. On supposera que la surface de l'eau est rectiligne, que la dérive due au courant est nulle et que la trajectoire d'Albert est une ligne brisée.
On pourra poser HM=x"
Merci d'avance pour votre aide !

Bonjour,
sympa le problème

exprimer les distances AM et MB en fonction de x
exprimer les temps de parcours correspondants en fonction de x (eh oui il y a un peu de conversions à faire)
ça donne une fonction, il faut chercher son minimum

Merci de votre réponse,

AM=√(18²+x²) avec Pythagore
MB=30-x
AM: 7,2 km/h=2 m/s (on divise par 3,6)
MB: 9 km/h=2,5 m/s
Comment exprimer une fonction ?

C'est ça.
Maintenant le temps de parcours de AM, et celui de BM.

AM=√(18²+x²)/2
BM=12-2/5x
C'est ça ?

Heu presque.
Ce ne sont plus AM et BM mais les temps de parcours en secondes de AM et BM.
Il ne reste plus qu'à trouver le temps de parcours total en fonction de x, on n'a qu'à l'appeler f(x). Et trouver le minimum.

f(x)=√(18²+x²)/2 +12- 2/5x
=(5√(18²+x²)-4x)/10 +12
Le minimum est y=18 ?

Comment trouves-tu le minimum ?

Graphiquement pour l'instant

OK, donc pour la valeur exacte, il faut étudier f (dérivée, tableau de variations).

f'(x)=1/(20√(18²+x²)) ?

Pas du tout
f(x)=1/2 * √(18²+x²) - 2/5x +12
On fait terme par terme.
Et rappel (√u)' = u'/(2√u)

√(18²+x²)'=(36+2x)/2√(18²+x²)=(18+x)/√(18²+x²)
(1/2)'=0
(-2/5x)'=-2/5
f(x)'=(18+x)/√(18²+x²)-2/5
C'est ça ?

√(18²+x²)'=(36+2x)/2√(18²+x²)=(18+x)/√(18²+x²) Non !
18²=324 est une constante, donc sa dérivée est 0, pas 36.

(1/2)'=0 oui mais on multiplie par 1/2, donc on ne calcule pas (1/2)'

(-2/5x)'=-2/5 oui

f(x)'=
(18+x)/√(18²+x²)-2/5en rouge ça ne va pas, en vert ça va.

Et pour vérifier : http://noombaz.fr/?q=√(18²+x²)
Tu peux même y taper ta fonction complète 1/2 * √(18²+x²) - 2/5x +12

D'accord, soit f'(x)=x/(2√(x²+324)) -2/5
Les variations je les étudie bien sur [0;30] ?

oui

Je calcule f'(x)=0 et je trouve x=

x 0 30
f'(x) - Φ +
f(x) Croiss Croiss

C'est ça ?

C'est bien ça, je suppose que ton clavier a fourché à la fin :
f(x) DÉCroiss Croiss

Maintant ça devrait aller pour répondre à la question.

Oui désolé. donc il doit rejoindre la surface à m de son bateau pour que le temps de parcours soit minimal.

Parfait

Merci pour votre aide !
Bonne soirée

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