3. Calcul des parties imaginaire et réel d'un nombre complexe

Calcul des parties imaginaire et réel d'un nombre complexe

  • R

    Bonsoir,
    voila j'ai un petit problème sur une question, et je voudrais une confirmation pour une autre.
    Voici le sujet:
    Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (o;u⃗;v⃗)(o;\vec{u};\vec{v})(o;u;v)
    On associe à tout point M d'affixe distincte 2i, le point M' d'affixe z' tel que z′=z−3iz+2z'=\frac{z-3}{iz+2}z′=iz+2z−3​

    1. Déterminer l'affixe du point E' associé au point E(i) et l'affixe du point F' associé au point F(2+i)

    ici j'ai répondu que ze′=3−iz_{e'}=3-ize′​=3−i et que zf′=−1+i1+2iz_{f'}=\frac{-1+i}{1+2i}zf′​=1+2i−1+i​
    Est-ce que ces résultats sont justes?

    2)On pose z=x+iy et z'=x'+iy
    Montrer que x′=2x+3y−6x2+(2−y)2x'=\frac{2x+3y-6}{x^2+(2-y)^2}x′=x2+(2−y)22x+3y−6​ et que y′=−x2−y2+3x+2yx2+(2−y)2y'=\frac{-x^2-y^2+3x+2y}{x^2+(2-y)^2}y′=x2+(2−y)2−x2−y2+3x+2y​

    Sur cette deuxième question je bloque un peu.
    Merci d'avance 😄

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonjour,

    Je te conseille de commencer par vérifier tes calculs du 1)

    Pour ZE′Z_{E'}ZE′​ il doit y avoir des erreurs de signe

    Pour ZF′Z_{F'}ZF′​ , je n'est pas vérifié mais ta réponse n'est pas finalisée : il faut multiplier par la quantité conjuguée du dénominateur pour mettre la réponse sous forme algébrique A+iB

    R 1 réponse
  • R

    Ah oui en effet donc:
    pour ze′=−3+iz_{e'}=-3+ize′​=−3+i
    et pour zf′=1+3i5z_{f'}=\frac{1+3i}{5}zf′​=51+3i​

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    C'est bon , mais pour Zf′f'f′ il vaut mieux écrire exactement sous forme algébrique :

    zf′=15+35iz_{f' }=\frac{1}{5}+\frac{3}{5}izf′​=51​+53​i

    Pou la 2) , tu poses z=x+iy avec x et y réels et tu exprimes z' :

    z′=x+iy−3i(x+iy)z+2z'=\frac{x+iy-3}{i(x+iy)z+2}z′=i(x+iy)z+2x+iy−3​

    z′=x+iy−3ix−y+2z'=\frac{x+iy-3}{ix-y+2}z′=ix−y+2x+iy−3​

    z′=(x−3)+iy(−y+2)+ixz'=\frac{(x-3)+iy}{(-y+2)+ix}z′=(−y+2)+ix(x−3)+iy​

    Tu continues , comme tu as fait pour ZF′Z_{F'}ZF′​ , en utilisant la quantité conjuguée du dénominateur

    R 1 réponse
  • R

    alors là je bloque complètement.
    Je ne vois pas comment continuer le calcul 😕

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Tu multiplies numérateur et dénominateur par (-y+2)-ix

    R 1 réponse
  • R

    bon alors au final je trouve:
    z′=−ix2−iy2+2x+3y+3ix+2iy−6y2−4y+x+4z'=\frac{-ix^2-iy^2+2x+3y+3ix+2iy-6}{y^2-4y+x+4}z′=y2−4y+x+4−ix2−iy2+2x+3y+3ix+2iy−6​
    mais comment montrer x' et y'?

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Au dénominateur , il semble que tu aies mis "x" au lieu de "x²" , mais de toute façon , si tu observes les résultats à trouver , il ne fallait pas développer.

    Le dénominateur doit s'écrire (−y+2)2+x2(-y+2)^2+x^2(−y+2)2+x2

    Pour le numérateur , je n'ai pas vérifié ton calcul.
    Tu dois mettre i en facteur , pour faire apparaître la partie réelle et la partie imaginaire souhaitées.

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