Résoudre des équations dans le plan complexe

Bonjour à tou(tes)s,
il me reste un exercice de dm pour demain.
Voilà l'énoncé :
"Pour tout complexe z, on définit :
P(z)=z³+2(√2-1)z²+4(1-√2)z-8.

1.a. Calculer P(2). Je trouve P(2)=0

b. Déterminer deux réels a et b tels que :
P(z)=(z-2)(z²+az+b).

Résoudre dans C l'équation P(z)=0. On appelle z1 et z2 les solutions de l'equation autres que 2, z1 ayant une partie imaginaire positive.

Vérifier que : z1+z2=-2√2

Déterminer le module et un argument de z1 et de z2.

3.a. Placer dans le plan, muni d'un repère orthonormé direct (O;u,v), les points A d'affixe 2, B et C d'affixes respectives z1 et z2, et I milieu de [AB].

b. Démontrer que le triangle OAB est isocèle direct. En déduire une mesure de l'angle (u;OI).

c. Calculer l'affixe $z_I$ de I, puis le module de $z_I$ .

d. Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de cos(3π/8) et sin(3π/8)."
Merci d'avance !

Bonjour,

Un conseil : évite de demander de l'aide la veille de rendre un DM! c'est trop tardif !

Si besoin , pour débloquer ton exercice , je te donne des pistes pour le 1)b)

Tu développes et tu ordonnes :

$z-2)(z^2+az+b)=...=z^3+(a-2)z^2+(b-2a)z-2b$

Tu identifies avec l'expression de P(z) :

$\left{a-2=2(\sqrt 2-1)\b-2a=4(1-\sqrt 2)\-2b=4\right$

Tu dois trouver , après calculs , $b=4a=2\sqrt 2\ et\ b=4$

Tu obtiens ainsi P(z) factorisé , ce qui te permet de continuer ton exercice.

Bonsoir, merci pour votre réponse.
J'ai presque terminé l'exercice.
1.b)a=2√2 et b=4
2. $z_1$ =-√2+i√2 et $z_2$ =-√2-i√2
$lz_1$ l=2 et $arg(z_2$ )=3π/4(2π)
$lz_2$ l=2 et $arg(z_2$ )=-3π/4
3. $b) l z$ {OA} $l=lz</em>{OB}$ l donc OAB triangle isocèle.
(OA;OA)=(u; $OB)=arg(z_1$ )=3π/4
Comment montrer que OAI est un triangle rectangle en I ?
π-π/2-π/8=3π/8=(u;OI)
$c)z_I$ =1-√2/2+i√2/2
$lz_I$ l=√(2-√2)
d)?

Pour démontrer que OAB est rectangle il faut qu tu prouves que l'angle de sommet O est droit ( il ne vaut pas 3∏/4)

$(oa⃗,ob⃗)=argzb−argza(\vec{oa},\vec{ob})=arg z_b-arg z_a$ tu comptes

Pour la suite :

OAB est isocèle .

I étant le milieu de [AB] , (OI) est médiane.

Dans un triangle isocèle , la médiane (OI) est aussi hauteur , donc (OI) est perpendiculaire à (AB) donc...

Et pour la dernière question, la 4), que dois-je faire ?

Tu mets $z_I$ sous forme algébrique et sous forme trigonométrique , en utilisant res résultats précedemment trouvés.

$\text{z_i=(1-\frac{\sqrt 2}{2})+i\frac{\sqrt 2}{2}$

$\text{z_i=\sqrt{2-\sqrt 2}(\cos\frac{3\pi}{8}+i\sin\frac{3\pi}{8})$

Tu pourras ainsi déduire la valeur du cosinus et du sinus ( ce qui était le but de l'exercice )

Merci pour votre réponse
Bonne journée

De rien.

A+ et bonne soirée.