Déterminer les positions relatives des courbes de fonctions


  • C

    Bonjour j'ai un exercice de maths assez complexe et noté à réalisé, pourriez-vous m'aider s'il vous plait, en voici l'énoncé :

    on définit les fonctions f, g et hsur l'intervalle [0;1] par f(x)=√x+1 (le tout sous la racine)
    g(x)=1+x/2 et h(x)=1+x/2-x²/8

    1. a. comparer (f(x))² et (g(x))²
      b. en déduire que pour 0<x≤1, √x+1<1+x/2
    2. a. montrer que, pour 0≤x≤1, h(x) est positif
      b. comparer (f(x))² et (h(x))² sur l'intervalle [0;1]
      c. en déduire que, pour 0<x≤1.1+x/2-x²/8<√x+1
      3.décrire les positions relatives des courbes représentatives des fonctions f, g et h
      4.sans calculatrice, donner un encadrement de √1.000002
      Quelle est l'amplitude de cet encadrement ? (l'amplitude de l'encadrement a<y<b est le réel positif a-b)

    encore merci pour votre aide qui me sera très précieuse...


  • H

    Bonjour CHAMEAUBN

    1.a. (f(x))2=x+1(f(x))^2=x+1(f(x))2=x+1 et (g(x))2=1+x+x24=(f(x))2+x24(g(x))^2=1+x+\dfrac{x^2}{4} =(f(x))^2+\dfrac{x^2}{4}(g(x))2=1+x+4x2=(f(x))2+4x2

    Puisque x24≥0\dfrac{x^2}{4}\ge 04x20 , qu'en déduis-tu ?

    1.b. Tu utilises la croissance de la fonction "racine carrée" et le fait que f(x)≥0 et g(x)≥0 sur [0;1]

    2.a. h(x)=1+x2−x28h(x)=1+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^2}{8}h(x)=1+2x8x2

    Sur l'intervalle [0;1], nous avons : ...≤x2≤......\le\dfrac{x}{2}\le......2x... et ...≤−x28≤......\le-\dfrac{x^2}{8}\le......8x2... .

    Donc ... ≤ h(x) ≤ ...

    2.b. Pour le calcul de (h(x))², rappelle-toi cette formule : (a+b−c)2=a2+b2+c2+2ab−2ac−2bc.(a+b-c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc.(a+bc)2=a2+b2+c2+2ab2ac2bc.

    Tu peux d'ailleurs retrouver cette formule en faisant comme ceci : (a+b−c)2=[(a+b)−c]2.(a+b-c)^2 = [(a+b)-c]^2.(a+bc)2=[(a+b)c]2.


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