Suite numérique et géométrique

Bonjour,
Je suis en terminale S et je me permet de poster ce nouveau sujet car j'ai un exercice de maths à traiter dont le sujet est :

On considère la suite numérique $U_n$ ) définie par $U_0$ = 1 et ∀ n ∈ N, $2U_{n+1}$ = $U_n$ -1

1- Calculer les 5 premiers termes de la suite : J'ai résolu cette question et j'ai obtenu : $U_1$ = 0 , $U_2$ = -1/2 , $U_3$ = -3/4 , $U_4$ = -7/8 et $U_5$ = -15/16.

2- Soit (Vn) la suite numérique définie par : ∀n∈N, $V$ _n $U_n$ +a
a ° Déterminer le nombre réel a de façon que la suite (Vn) soit une suite géométrique.
b ° En déduire les valeurs de Vn et Un en fonction de n
c ° Déterminer la limite de la suite (Un) en +∞
d ° Trouver le plus petit entier positif n tel que $U_n$ +1 < 10^-4

3- Calculer Sn = ∑ Uk pour k allant de 0 à n. En déduire la limite de Sn / n quand n tend vers +∞.

Je vous demande de l'aide car je n'ai pas réussi pour la question 2.
En vous remerciant

Bonjour,
Calcule $V_{n+1}$ en fonction de $U_n$ .
Remplace $U_n$ par $V_n$ - a.
Achève les calculs pour obtenir une suite géométrique.

Merci de votre réponse
Donc si j'ai bien compris je dois faire :
$V_{n+1}$ = $U_{n+1}$ +a

On sait que $2 U$ _{n+1} $U_n$ +1

Donc $V$ _{n+1} $U_n$ -1) / 2 + a

Oui.
Continue en remplaçant $U_n$ par $V_n$ - a (puisque $V_n$ = $U_n$ + a)

J'ai bien compris ce que vous me dites de faire, simplement je ne comprends pas trop pourquoi, en remplaçant j'obtiens :

$V_{n+1}$ = $V_n$ +a-1) /2
Mais maintenant je ne vois pas trop ce qu'il faut que je fasse là est mon problème en faite..

Isole $V_n$ :
$V_{n+1}$ = $1/2)V_n$ + (a-1)/2
Autrement dit, la première partie du travail a consisté à exprimer $V_{n+1}$ en fonction de $V_n$ .
Mais ensuite, on souhaite que cette suite soit géométrique, donc que $V_{n+1}$ soit de la forme $V_{n+1}$ = k. $V_n$
Tu as deviné la valeur de k, mais il y a des termes derrière qui doivent disparaître : pour quelle valeur de a ?

Merci beaucoup
Ce qui fait que lorsque a = 1 on a :

1-1 /2 = 0/2 = 0 ?
Donc la valeur de a pour laquelle la suite ( $V_n$ ) est géométrique est 1 ?

Oui, et dans ce cas, $V_{n+1}$ = $1/2)V_n$
Tu dois pouvoir faire la suite de la question 2 sans problème.
Donne tes réponses si tu souhaites qu'on vérifie.

J'ai donc obtenu :

b° $v$ _n $v_0$ × $q^n$
Donc $v_n$ =2× $1/2)^n$

$u_n$ =2× $1/2)^n$ -1

c° lim $u_n$ )=-1

d° je ne vois pas trop ce que je peux faire comme programmation

Citation
2× $1/2)^n$ Que l'on peut écrire $1/2^{n-1}$

Pour la d), c'est équivalent à $V_n$ < $10^{-4}$
Donc $2^{n-1}$ > $10^4$
Utillise les logarithmes des deux membres.

Je n'ai pas vu les logarithmes encore,
Je l'ai simplement écrit de la façon dont je l'ai apprise en cours pour 2× $1/2)^n$

2× $1/2)^n$ = $2/2^n$ (car $1^n$ = 1)
donc = $1/2^{n-1}$ (simples règles sur les puissances).

Sans le logarithme, je ne vois pas vraiment comment t'expliquer.
Je peux juste te donner les indications suivantes : avec la calculatrice, calcule $2^{n-1}$ pour n = 3,4,5 ... jusqu'à ce que le résultat dépasse $10^4$
Tu peux évidemment le programmer, mais même à la main ce n'est pas très long.

Je vous remercie pour toutes ces indications, et cette précieuse aide, qui m'a été extremement utile.
Bonne soirée

De rien.
Bon travail.