Suite numérique et géométrique



  • Bonjour,
    Je suis en terminale S et je me permet de poster ce nouveau sujet car j'ai un exercice de maths à traiter dont le sujet est :

    On considère la suite numérique (Un(U_n) définie par U0U_0 = 1 et ∀ n ∈ N, 2Un+12U_{n+1}= UnU_n -1

    1- Calculer les 5 premiers termes de la suite : J'ai résolu cette question et j'ai obtenu : U1U_1 = 0 , U2U_2 = -1/2 , U3U_3 = -3/4 , U4U_4 = -7/8 et U5U_5 = -15/16.

    2- Soit (Vn) la suite numérique définie par : ∀n∈N, VV_n=Un=U_n+a
    a ° Déterminer le nombre réel a de façon que la suite (Vn) soit une suite géométrique.
    b ° En déduire les valeurs de Vn et Un en fonction de n
    c ° Déterminer la limite de la suite (Un) en +∞
    d ° Trouver le plus petit entier positif n tel que UnU_n +1 < 10^-4

    3- Calculer Sn = ∑ Uk pour k allant de 0 à n. En déduire la limite de Sn / n quand n tend vers +∞.

    Je vous demande de l'aide car je n'ai pas réussi pour la question 2.
    En vous remerciant



  • Bonjour,
    Calcule Vn+1V_{n+1} en fonction de UnU_n.
    Remplace UnU_n par VnV_n - a.
    Achève les calculs pour obtenir une suite géométrique.



  • Merci de votre réponse
    Donc si j'ai bien compris je dois faire :
    Vn+1V_{n+1}= Un+1U_{n+1}+a

    On sait que 2U2U_{n+1}=Un=U_n+1

    Donc VV_{n+1}=(Un=(U_n-1) / 2 + a



  • Oui.
    Continue en remplaçant UnU_n par VnV_n - a (puisque VnV_n = UnU_n + a)



  • J'ai bien compris ce que vous me dites de faire, simplement je ne comprends pas trop pourquoi, en remplaçant j'obtiens :

    Vn+1V_{n+1}= (Vn(V_n+a-1) /2
    Mais maintenant je ne vois pas trop ce qu'il faut que je fasse là est mon problème en faite..



  • Isole VnV_n :
    Vn+1V_{n+1} = (1/2)Vn(1/2)V_n + (a-1)/2
    Autrement dit, la première partie du travail a consisté à exprimer Vn+1V_{n+1} en fonction de VnV_n.
    Mais ensuite, on souhaite que cette suite soit géométrique, donc que Vn+1V_{n+1} soit de la forme Vn+1V_{n+1} = k.VnV_n
    Tu as deviné la valeur de k, mais il y a des termes derrière qui doivent disparaître : pour quelle valeur de a ?



  • Merci beaucoup
    Ce qui fait que lorsque a = 1 on a :

    1-1 /2 = 0/2 = 0 ?
    Donc la valeur de a pour laquelle la suite ( VnV_n) est géométrique est 1 ?



  • Oui, et dans ce cas, Vn+1V_{n+1} = (1/2)Vn(1/2)V_n
    Tu dois pouvoir faire la suite de la question 2 sans problème.
    Donne tes réponses si tu souhaites qu'on vérifie.



  • J'ai donc obtenu :

    vv_n=v0=v_0×qnq^n
    Donc vnv_n=2×(1/2)n(1/2)^n

    unu_n=2×(1/2)n(1/2)^n -1

    c° lim (un(u_n)=-1

    d° je ne vois pas trop ce que je peux faire comme programmation



  • Citation
    (1/2)n(1/2)^nQue l'on peut écrire 1/2n11/2^{n-1}

    Pour la d), c'est équivalent à VnV_n < 10410^{-4}
    Donc 2n12^{n-1} > 10410^4
    Utillise les logarithmes des deux membres.



  • Je n'ai pas vu les logarithmes encore,
    Je l'ai simplement écrit de la façon dont je l'ai apprise en cours pour 2×(1/2)n(1/2)^n



  • (1/2)n(1/2)^n = 2/2n2/2^n (car 1n1^n = 1)
    donc = 1/2n11/2^{n-1} (simples règles sur les puissances).

    Sans le logarithme, je ne vois pas vraiment comment t'expliquer.
    Je peux juste te donner les indications suivantes : avec la calculatrice, calcule 2n12^{n-1} pour n = 3,4,5 ... jusqu'à ce que le résultat dépasse 10410^4
    Tu peux évidemment le programmer, mais même à la main ce n'est pas très long.



  • Je vous remercie pour toutes ces indications, et cette précieuse aide, qui m'a été extremement utile.
    Bonne soirée



  • De rien.
    Bon travail.


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