Montrer qu'une suite avec exponentielle est géométrique et déterminer sa limite



  • Bonsoir à tou(tes)s,
    Je dois rendre un dm jeudi et je bloque sur la deuxième partie d'un exercice.
    "La température de refroidissement d'un objet fabriqué industriellement est une fonction f du temps t. f est définie sur l'ensemble des réels positifs et vérifie l'équation différentielle : f'(t)+1/2f(t)=10. La température est exprimée en degrés Celsius et le temps en heures.
    On admet que la fonction f est définie sur [0;+∞[ par f(t)=200et/2f(t)=200e^{-t/2}+20.
    B. On considère la suite d(n) définie par : dnd_n=f(n)-f(n+1) où n∈N
    1.Calculer d0,d1,d2
    d0=78,7
    d1=47,7
    d2=28,9
    2.Montrer que la suite (dn) est géométrique. Préciser la raison et d0
    3.Déterminer la limite de la suite (dn)
    4.a)Rédiger un algorithme qui a une température donnée T (T>0), affiche la plus petite valeur de l'entier n a partir de laquelle l'abaissement de température est inférieur à ToT^oC.
    b)Programmer cet algorithme et donner la valeur de n obtenue pour chacune des températures suivantes : T=5oT=5^oC, T=2,T=1 et T=0,1"
    Merci d'avance pour votre aide ! 😄

    edit : merci de donner des titres significatifs*


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Une remarque : lorsque tu as des questions sur un DM , n'attends pas la veille du jour où tu dois rendre ton devoir pour les poser. C'est trop tard !

    Pour la 2) , jette toi dans les calculs

    dn+1=f(n+1)f(n+2)d_{n+1}=f(n+1)-f(n+2)

    Après calculs , tu dois trouver

    dn+1=200(en+12en+22)d_{n+1}=200(e^{-\frac{n+1}{2}}-e^{-\frac{n+2}{2}})

    Tu transformes :

    $d_{n+1}=200e^{-\frac{1}{2}}(e^{-\frac{n}{2}}-e^{-\frac{n+1}{2)$

    Or , après calculs ,

    dn=f(n)f(n+1)=200(en2en+12)d_n=f(n)-f(n+1)=200(e^{-\frac{n}{2}}-e^{-\frac{n+1}{2}})

    Donc :

    dn+1=e12dnd_{n+1}=e^{-\frac{1}{2}}d_n

    Donc.............


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