caractérisation vectorielle du CDG



  • Voici un MP qui m'a été transmis par dioramor.
    Je le soumets à la sagacité des intervenants, en particulier de Madvin, par exemple !

    bonjour je mappele chloé et jai un gro probleme jarive pa a faire mon dm peut tu maider stp? merci davance

    CARACTERISATION VECTORIELLE DU CENTRE DE GRAVITE D' UN TRIANGLE

    soit ABC un triangle quelconque.
    on appelle A' B' C' les milieux respectifs des côtés [BC] [AC] et [AB].

    1. a) démontrer que 2AA'^\rightarrow = AB^\rightarrow + AC^\rightarrow.

    b) ecrire des egalites semblables pour les vecteurs BB'^\rightarrow et CC'^\rightarrow.

    c) en deduire que : AA'^\rightarrow + AB'^\rightarrow + CC'^\rightarrow = 0^\rightarrow.

    1. soit G le centre de gravité du triangle ABC.
      a)justifier brièvement les égalités:
      (les lettres portent une fleche)

    AG^\rightarrow = 2/3 AA'^\rightarrow ; BG^\rightarrow = 2/3 BB'^\rightarrow ; CG^\rightarrow = 2/3 CC'^\rightarrow.

    b)demontrer que : GA^\rightarrow + GB^\rightarrow + GC^\rightarrow = 0^\rightarrow

    1. soit m un point du plan tel que : MA^\rightarrow + MB^\rightarrow + MC^\rightarrow = 0^\rightarrow.
      a) demontrer que: 3MA^\rightarrow + AB^\rightarrow + AC^\rightarrow = 0^\rightarrow

    b) en deduire que : AM^\rightarrow = 2/3 AA'^\rightarrow.

    c)que peut on dire alors du point M?

    d) quelle equivalence a ton demontré?

    chloé



  • Salut,

    Bon je vais enfin pouvoir m'occuper de ce problème...

    Vu que dioramor n'a pas indiqué à quel endroit elle bloque, difficile de l'aider correctement... Je vais donc juste donner quelques petites indications pour chacune des questions...
    Si elle a vraiment des problèmes pour certains points, elle n'aura qu'à intervenir pour nous en faire part...

    1.a) Commence en remarquant que :
    AA'^\rightarrow = AB^\rightarrow + BA'^\rightarrow
    et que
    AA'^\rightarrow = AC^\rightarrow + CA'^\rightarrow

    On a donc AA'^\rightarrow + AA'^\rightarrow = AB^\rightarrow + AC^\rightarrow + BA'^\rightarrow + CA'^\rightarrow
    Or CA'^\rightarrow = A'B^\rightarrow (voir dessin) = - BA'^\rightarrow
    donc ...conclus...

    1.b) Apparemment il faut montrer de la même façon que précédemment que 2BB'^\rightarrow = BA^\rightarrow + BC^\rightarrow et que 2CC'^\rightarrow = CA^\rightarrow + CB^\rightarrow

    1.c) A partir des 3 formules démontrées précédemment, calcule 2AA'^\rightarrow + 2BB'^\rightarrow + 2CC'^\rightarrow = ...... et en développant tes calculs, trouve la valeur de AA'^\rightarrow + BB'^\rightarrow + CC'^\rightarrow qui t'es demandée...

    2.a) C'est un théorème du cours...

    2.b) Cela se démontre très facilement en utilisant les égalités de la question 2.a et le résultat de la question 1.c. (Petite indication : GA^\rightarrow = -AG^\rightarrow). Ce n'est que du calcul vectoriel.

    3.a) On a MA^\rightarrow + MB^\rightarrow + MC^\rightarrow = 0^\rightarrow
    Il faut faire apparaître dans cette équation les vecteurs AB^\rightarrow et BC^\rightarrow. On utilise les propriétés de Chasles : MB^\rightarrow = MA^\rightarrow + AB^\rightarrow et MC^\rightarrow = MA^\rightarrow + AC^\rightarrow
    Effectue les calculs et tu tomberas sur l'expression qu'on te demande.

    3.b) Utiliser la propriété démontrée en 3.a et celle démontrée en 1.a. Le résultat qu'on te demande est très facile à obtenir.

    3.c) On en déduit que le point M est confondu avec G.

    3.d) On a démontré que : soit un point M, MA^\rightarrow + MB^\rightarrow + MC^\rightarrow = 0^\rightarrow equiv/ M est le centre de gravité du triangle ABC.

    @+



  • Salut ! pour le 2 , y'a plus simple :

    1. a- AA' ,BB' et CC' , sont des medianes , car elle partent du milleu des côtés et vont au sommet opposé ( respectif des medianes ) .
      Donc , comme G est le Centre de gravité , il se trouve au 2/3 des medianes , donc AG = 2/3 AA' ; BG = 2/3 BB' ; CG = 2/3 CC'.
      Alors , pour le b) , le cente de grav dans un triangle ,est l'isobarycente ( meme coeffs ) des sommets ( a , b et c ) , alors , GA + GB + GC = 0 .

    Donc , je pense que c'est correct et plus simple !
    A+



  • Juliedeparis
    Salut ! pour le 2 , y'a plus simple :

    1. a- AA' ,BB' et CC' , sont des medianes , car elle partent du milleu des côtés et vont au sommet opposé ( respectif des medianes ) .
      Donc , comme G est le Centre de gravité , il se trouve au 2/3 des medianes , donc AG = 2/3 AA' ; BG = 2/3 BB' ; CG = 2/3 CC'.

    C'est bien ce que je disais...c'est un théorème du cours : c'est exactement ce que tu viens de faire en lui donnant directement la réponse. 😁

    Juliedeparis

    Alors , pour le b) , le cente de grav dans un triangle ,est l'isobarycente ( meme coeffs ) des sommets ( a , b et c ) , alors , GA + GB + GC = 0 .

    Donc , je pense que c'est correct et plus simple !
    A+
    Malheureusement c'est pas comme ça qu'on lui demande de le démontrer. En faisant comme tu le fais, les formules de la question 2.a ne servent absolument à rien. 😉
    Néanmoins ta façon de faire est juste puisque c'est l'application d'un autre théorème, mais le but de cet exercice est justement de démontrer ce théorème sur le centre de gravité, sur sa caractérisation vectorielle comme le dit le titre. C'est ce que l'on fait dans la partie 2 du problème, la partie 3 permettant de démontrer que cette caractérisation vectorielle ne s'applique qu'au centre de gravité. 😁


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