somme d'une suite

[123-aaa-123]

Bonjour j'aurai besoin d'aide pour un exercice dont le but est de démontrer que la suite Un=∑ (n)(k=1)[(n+k)/(n²+k)] est convergente et de calculer sa limite.

Questions :

1)Calculer U1 et U2

2)Ecrire un algorithme qui permet de calculer Un pour une valeur de n donnée

3)Démontrer que pour tout entier naturel k compris entre les entiers naturels 1 et n, on a :
(n+k)/(n²+n)≤(n+k)/(n²+k)≤(n+k)/(n²+1)

4)En encadrant Un, montrer que la suite (Un) converge et donner sa limite notée α

5)A l'aide d'un autre algorithme, déterminer le plus petit entier naturel n pour lequel : |Un-α| ≤ 10^4

Où j'en suis :

1. U1=(n+1)/(n²+1)=(1+1)/(1²+1)=1
   U2=(n+2)/(n²+2)=(2+2)/(2²+2)=4/6
   Est-ce bon ?

2)J’utiliserai cet algorithme :
N=>type nombre
K => type nombre
S=> type nombre
S prend la valeur 1
Pour k allant de 1àN
S prend la valeur S+((n+k)/(n²+k))
Afficher S
Fin

Mais je ne pense pas que c’est ça et si c’est totalement faux je ne vois pas comment changer

3. On sait que n≤k≤1
   Donc n^2+n≤n^2+k≤n^2+1 
   1/(n^2+n)≤1/(n^2+k)≤1/(n^2+1) 
   n/(n^2+n) ≤n/(n^2+k)≤n/(n^2+1)
   (n+k)/(n^2+n)<(n+k)/(n^2+k)≤(n+k)/(n^2+1)
   c'est juste ?

4. je ne sais pas comment faire

5. J'utiliserai celui-ci :
   N=> nombre entier
   U=> nombre entier

Saisir N
N prend la valeur 1
Tant que U>|Un-α|
N prend la valeur N+1
U prend la valeur (N+1)/(N²+1)
Fin tant que
Afficher N
pareil : incomplet ou faux ?

Merci d'avance !