somme d'une suite



  • Bonjour j'aurai besoin d'aide pour un exercice dont le but est de démontrer que la suite Un=∑ (n)(k=1)[(n+k)/(n²+k)] est convergente et de calculer sa limite.

    Questions :

    1)Calculer U1 et U2

    2)Ecrire un algorithme qui permet de calculer Un pour une valeur de n donnée

    3)Démontrer que pour tout entier naturel k compris entre les entiers naturels 1 et n, on a :
    (n+k)/(n²+n)≤(n+k)/(n²+k)≤(n+k)/(n²+1)

    4)En encadrant Un, montrer que la suite (Un) converge et donner sa limite notée α

    5)A l'aide d'un autre algorithme, déterminer le plus petit entier naturel n pour lequel : |Un-α| ≤ 10^4

    Où j'en suis :

    1. U1=(n+1)/(n²+1)=(1+1)/(1²+1)=1
      U2=(n+2)/(n²+2)=(2+2)/(2²+2)=4/6
      Est-ce bon ?

    2)J’utiliserai cet algorithme :
    N=>type nombre
    K => type nombre
    S=> type nombre
    S prend la valeur 1
    Pour k allant de 1àN
    S prend la valeur S+((n+k)/(n²+k))
    Afficher S
    Fin

    Mais je ne pense pas que c’est ça et si c’est totalement faux je ne vois pas comment changer

    1. On sait que n≤k≤1
      Donc n^2+n≤n^2+k≤n^2+1 
      1/(n^2+n)≤1/(n^2+k)≤1/(n^2+1) 
      n/(n^2+n) ≤n/(n^2+k)≤n/(n^2+1)
      (n+k)/(n^2+n)<(n+k)/(n^2+k)≤(n+k)/(n^2+1)
      c'est juste ?

    2. je ne sais pas comment faire

    3. J'utiliserai celui-ci :
      N=> nombre entier
      U=> nombre entier

    Saisir N
    N prend la valeur 1
    Tant que U>|Un-α|
    N prend la valeur N+1
    U prend la valeur (N+1)/(N²+1)
    Fin tant que
    Afficher N
    pareil : incomplet ou faux ?

    Merci d'avance !


 

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