Montrer que des matrices sont inverses l'une de l'autre



  • Bonjour ! J'aurai besoin d'aide pour mon execice qui est le suivant :

    On considère les matrices A = 1amp;0amp;0 8amp;0amp;8 9amp;0amp;8\begin{matrix} -1 &0 &0 \ -8 & 0 &-8 \ 9 & 0 & 8 \end{matrix}, P=(1amp;0amp;0 0amp;1amp;1 1amp;0amp;1)\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \ 0 &1 &-1 \ -1 & 0& 1 \end{pmatrix} et Q=(1amp;0amp;0 1amp;1amp;1 1amp;0amp;1)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\ 1 & 1 &1 \ 1 &0 &1 \end{pmatrix}.

    1. Vérifier que les matrices P et Q sont inverses l'une de l'autre. C'est Ok.
    2. On définit la matrice B=Q×A×P. Calculer B et exprimer BnB^n en fonction de n.
      J'ai trouvé B=(1amp;0amp;0 0amp;0amp;0 0amp;0amp;8)\begin{pmatrix} -1 &0 &0 \ 0 & 0 & 0\ 0& 0 & 8 \end{pmatrix}. Est ce que BnB^n=(1namp;0amp;0 0amp;0amp;0 0amp;0amp;8n)\begin{pmatrix} -1^{n} & 0 &0 \ 0& 0 &0 \ 0 & 0 &8^{n} \end{pmatrix} ?

    3)a) Montrer que pour tout entier naturel n : AnA^n=P×BnB^n×Q.

    J'ai fait : B=Q×A×P donc A=P1A=P^{-1}×B×Q1Q^{-1}
    or P×Q=I avec P1P^{-1}=Q et Q×P=I avec Q1Q^{-1}=P. Donc A=P×B×Q.
    Et là je sais pas comment continuer :$

    3)b) Calculer AnA^n pour tout entier naturel n. J'ai trouvé : (1namp;0amp;0 8namp;0amp;8n 9namp;0amp;8n)\begin{pmatrix} -1^{n} & 0 & 0\ 8^{n} & 0 &8^{n} \ 9^{n} & 0 &8^{n} \end{pmatrix}

    Voilà 🙂


  • Modérateurs

    Bonjour,

    1. B est bon

    BnB^n est bon car B est une matrice diagonale.

    Remarque : mets des parenthèses autour de -1 : (1)n(-1)^n

    3)a) Oui pour A.

    Pour AnA^n la matrice n'est pas une matrice diagonale , donc ta réponse est mauvaise.

    Pour la démonstration demandée , fais une récurrence.

    Piste pour la transmission ( ou hérédité - je ne sais pas comment dit ton professeur...)

    Tu supposes $\text{a^n=p \times b^n \times q$

    $\text{a^{n+1}=a \times a^n=(p \times b \times q)\times (p \times b^n \times q$

    Associativité de la multiplication :

    $\text{a^{n+1}=a \times a^n=(p \times b) \times( q\times p )\times (b^n \times q)$

    $\text{a^{n+1}=(p \times b) \times (b^n \times q)$

    $\text{a^{n+1}=p \times (b \times b^n) \times q$

    $\text{a^{n+1}=p \times b^{n+1} \times q$

    CQFD

    3)b) Vu que tu as la valeur de A , de BnB^n et de Q , tu calcules AnA^n avec la formule démontrée en 3)a)


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