Résolution d'un problème avec des nombres complexes

J'ai un DM à rendre pour lundi 21, et à vrai dire, je bloque beaucoup dessus..

Soit un réel θ appartenant à ]0,π[. On considère le nombre complexe : Z = (e^iθ+1)/(e^iθ-1)

a) Démontrer que : Z = -i/tan(θ/2)

b) Pour θ appartenant à ]0,π[ quel est le signe de tan(θ/2)?

c) En déduire le module et un argument de Z.

Pour tout entier n≥2 on a : Zn = e^(i(π/n)) + e^(i(2π/n))+...+ e^(i(n-1*π)/n

Montrer que pour tout n≥2 on a : Zn = e^(i(π/n)) * (-e^(-i(π/n))-1)/(e^(i(π/n))-1)

Déduire des égalités de la question 1 et de la question 4, que pour tout entier n≥2 on a :

Zn = i / tan(π/2n)

Pour tout entier n≥2, on pose : Sn = sin(π/n)+sin(2π/n)+...+sin((n-1)π)/n

Déduire de ce qui précède la limite de la suite (Sn) lorsque n tend vers +oo.

Bonjour ! ( un petit "Bonjour" ou "Bonsoir" fait plaisir ! )

Piste pour démarrer ,

Mets $eiθ2e^{i\frac{\theta}{2}}$ en facteur au numérateur et au dénominateur et simplifie.

Ensuite , avec les formules d'Euler , fait apparaître $sin⁡θ2\sin\frac{\theta}{2}$ et $cos⁡θ2\cos\frac{\theta}{2}$

Bonsoir (excusez-moi), je ne comprends pas comment faire..

Piste,

$eiθ+1=eiθ2(eiθ2+e−iθ2)e^{i\theta}+1=e^{i\frac{\theta}{2}}(e^{i\frac{\theta}{2}}+e^{-i\frac{\theta}{2}})$

$eiθ−1=eiθ2(eiθ2−e−iθ2)e^{i\theta}-1=e^{i\frac{\theta}{2}}(e^{i\frac{\theta}{2}}-e^{-i\frac{\theta}{2}})$

Tu fais apparaître cosinus et sinus.

Donc cos(θ/2)= e^(i(θ/2))+e^(-i(θ/2))

et sin (θ/2)= e^(i(θ/2))-e^(-i(θ/2))

Donc Z = cos(θ/2)/sin(θ/2) ?
Je ne vois pas comment déterminer la forme demandée ensuite..

L'idée est là , mais ce n'est pas bon ...

Regarde de près ton cours sur les formules d'Euler pour calculer cos(θ/2) et sin(θ/2)

Je ne trouve pas..

$cos⁡θ2=eiθ2+e−iθ22\cos\frac{\theta}{2}=\frac{e^{i\frac{\theta}{2}}+e^{-i\frac{\theta}{2}}}{2}$

$sin⁡θ2=eiθ2−e−iθ22i\sin\frac{\theta}{2}=\frac{e^{i\frac{\theta}{2}}-e^{-i\frac{\theta}{2}}}{2i}$

et comment déterminer ensuite la formule à trouvé à partir de cela? Merci!

Prends un peu le temps de réfléchir !

Déduis 2sin(θ/2) et 2isin(θ/2) et continue .

Alors,

2sin(θ/2) = (2*(e^(iθ/2)-e^(-iθ/2))/2i

et

2isin(θ/2)= (2i*(e^(iθ/2)-e^(-iθ/2))/2i

Dur , dur !

$sin⁡θ2=eiθ2−e−iθ22i\sin\frac{\theta}{2}=\frac{e^{i\frac{\theta}{2}}-e^{-i\frac{\theta}{2}}}{2i}$

Tu fais les produits en croix :

$2isin⁡θ2=eiθ2−e−iθ22i\sin\frac{\theta}{2}=e^{i\frac{\theta}{2}}-e^{-i\frac{\theta}{2}}$

Tu fais pareil pour la formule du cosinus.

Ensuite , tu remplaces dans l'expression transformée ( et simplifiée ) de Z

J'ai enfin trouvé! Merci beaucoup.
Il me manque plus que les questions 2) et 3).
Pour la question 4) j'ai trouvé que c'était 2/pi la limite quand n tend vers +oo.

Qu'as tu trouvé pour le module et un argument de Z ,

Pour les questions 2) et 3 : observe bien

Tu as la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique .

Pour le module de z, j'ai trouvé que c'était 1/tan(θ/2) *(-i) et l'argument : -pi/2

Pour la question 2) en effet on dirait qu'il y a la formule de la somme d'une suite géométrique : Uo * (1-q^(n+1))/1-q

Mais comment trouve-t-on la raison et prouve-t-on que c'est une suite géométrique ?
Il existe bien la formule Un+1/Un pour prouver cela mais je ne trouve pas..

Je ne comprends pas la question 3)..

Revois ton cours !

Un module est un réel positif . Il ne peut pas y avoir de "-i" dan un module...

Je me suis trompée, le module c'est 1/tan(θ/2) et l'argument c'est - pi/2.

C'est bon pour Z.

Observe...

$zn=eiπn+(eiπn)2+...+(eiπn)n−1z_n=e^{\frac{i\pi}{n}}+(e^{\frac{i\pi}{n}})^2+...+(e^{\frac{i\pi}{n}})^{n-1}$

Donc....................

C'est une suite géométrique (à cause de la raison qui est placée en puissance).
Donc la formule de la somme d'une suite géométrique est : Uo * (1-q^(n+1))/1-q

U0 représente e^(ipi/n).
La raison est q^k ?
Mais que représente (1-q^(n+1))/1-q dans cette somme ?

le nombre de termes n'est pas (n+1)

la raison est q=e^(ipi/n)

Le nombre de termes c'est n ?
Donc La formule de la somme c'est : U0 * (1-q^n)/1-q ?

Observe !

le nombre de termes n'est pas n

c'est (n-1) ?

Oui.

Donc La formule de la somme c'est : U0 * (1-q^(n-1))/1-q ?
U0 = e^(i(^pi/n))
q=e^(ipi/n)
Donc on en déduit la formule proposée à la question 2 ?

Oui , mais il faudra peut-être faire ensuite une transformation si la formule trouvée n'est pas exactement la formule proposée.

D'accord merci ! Et pour la question 3 comment dois-je procéder?

Commence par faire la 2) correctement avant de passer à la 3).

C'est d'ailleurs bizarre , comme tu l'indiques , d'utiliser la question 4) pour faire la question 3)....

Je me suis trompée, c'est la question 2 pour faire la 3) !. J'ai réussi pour la 2)

Idée pour la 3) , mais je te laisse terminer ton DM :

Utilise la formule de la 2) et , pour la transformer , utilise la propriété démontrée à la 1) en posant $θ=πn\theta=\frac{\pi}{n}$

Merci de votre aide, bonne soirée!

De rien !