Dérivées une aire minimale

[dodo16]

Dans un repère orthonormé, la parabole P a pour équation y=4-x².
M est un point de P d'abscisse m tel que m appartient à ]0;2].
La tangente en M à P coupe les axes de coordonnées en A et B
On s'intéresse à l'aire du triangle OAB lorsque m décrit l'intervalle ]0;2]

1d) déplacez M sur P et conjecturez l'abscisse de M pour laquelle l'aire du triangle OAB est minimale
Il faut que l'abscisse de M soit 1,1

2a) trouvez en fonction de m une equation de la tangente en M a P
y=-2mx+m²+4

2b) Déduisez-en les coordonées de A et B
A(0;m²+4). B(2-m²/m;0)

C) démontrez qui l'aire Am du triangle OAB est égale à (m²+4)²/4m
?

D) Etudiez les variations de la fonction f définie sur ]0;2] par f(x)=(x²+4)²/4x
?

E) déduisez-en la valeur exacte de m pour laquelle l'aire du triangle est minimale. Le résultat est-il conforme à votre conjecture
?

Pouvez vous m'aider pour la C D E

[ptinoir_phiphi]

Salut

**1)**Pour conjecturer la réponse il faut utiliser un logiciel de géométrie dynamique (par exemple : le logiciel Géogébra)

En déplaçant le point M sur la parabole P , on peut visualiser que si le point M a pour abscisse (environ) $m\approx 1,1$ alors l'aire du triangle OAB est minimale (et $\approx 6,2$)

2) L'équation de la tangente au point M de la parabole P d'abscisse m est bien : $y=-2mx+m^2+4$

3)

• Les coordonnées du point A sont bien (0;m²+4)
• Les coordonnées du point B sont ( (
  m²+4)/2m; 0 )

C) Comme le triangle OAB est rectangle en O : l'aire du triangle OAB est donnée par la formule $\frac{y_a\times x_b}{2}$

**D)etE)**Faire l'étude de fonction de f(x)=(x²+4)²/4x quand $x\in ]0;2]$

( et tu peux utiliser ta calculatrice pour visualiser $c_f$ )

ET le tableau de variation va te permettre de trouver la valeur recherchée pour m

[ptinoir_phiphi]

Re-salut

Voici un résultat "via un graphique" trouvé grâce au logicielGéogébra: