Aire de deux demi-cercles peut-elle etre égale à l'aire du grand demi-cercle?


  • L

    Bonjour,
    J'ai eu un DM à faire, la figure étant la même que celle sur ce post http://www.math...t-11220.html
    Sauf que l'on a : AB=8 et AM=2X

    On sait que la fonction qui permet de calculer l'aire des deux petits demi-cercles est :
    f(x)=π(X²-4X+8)

    On nous demande si l'aire du demi-cercle AB - l'aire des deux demi-cercles(donc f(X) ) peux elle être égale à celle de f(X)

    J'en ai parler avec des amies, et elles trouvent toutes que oui, mais pas moi.

    Voici ce que j'ai fait :(π4²)/2-π(X²-4X+8)
    =0,5π
    8-πx²+π4x-8π
    =π(X²+4X-4)

    Ce qui n'est pas égale à π(X²-4X+8).

    J'ai beau essayer, je n'arrive pas à trouver que c'est égale. Me suis-je trompée quelque part ?

    Merci d'avance !


  • P

    Salut

    Tu as fait une erreur car (π×\pi\timesπ× 4²)/2 ≠0,5π×8\ne 0,5 \pi \times 8=0,5π×8


  • L

    Merci de m'avoir répondu !

    Oui donc j'ai avancé, et j'ai trouvé que cela faisait π(-x²+4x)
    Ensuite j'ai essayé de résoudre l'équation
    π(X²-4X+8)=π(-x²+4x) pour prouver que c'était égale mais je n'arrive pas à résoudre. J'ai vu qu'à l'aide d'un graphique, c'était égale quand x=2.
    Mais pour l'équation, je reste bloquée car je tombe sur des x²...


  • P

    Re-salut

    dans l'exo précédent on a AB= 8 et AM=x et f(x)= pi/4 ×(8pi-x²)

    et dans ton exo on a : AB= 8 et AM=2x

    donc je dirais que f(x)= pi/4 ×(8pi-(2x)²) = pi ×(2pi- x²)

    Es-tu d'accord ?

    Si oui , peux tu expliquer pourquoi tu calcules : π(X²-4X+8)=π(-x²+4x) ?

    ps)

    Dans ton exo tu parles de l'aire de 2 demi-cercles
    alors que dans l'exo précédent : on parle de l'aire des 3 demi-cercles ??


  • L

    Oui, désolée, mais j'étais d'ans l'exo, et c'est vrai que quand on relit, c'est pas trop compréhensible, désolée.
    Donc je poste l'image que j'ai refaite;

    http://imageshack.us/a/img42/9043/mathye.png
    et l'énoncé:
    On sait que AB=8 et on note f(x) l'aire de la partie hachurée

    →Démontrer que f(x)=π(x²-4x+8) → ça, j'y suis arrivée
    →L'aire de la partie hachurée peut-elle être égale à celle de la partie rose formée par le demi-disque de diametre [AB] privé de la partie hachurée ?

    Donc j'ai trouvé que l'aire de la partie rose était : π(-x²+4x)
    Et à l'aide d'un graphique, j'ai pu trouver que π(x²-4x+8) = π(-x²+4x) quand x=2

    Mais je n'arrive pas à résoudre l'équation.
    J'espère avoir été plus clair sur l'exercie, et merci encore de m'aider.


  • P

    Salut Lili7

    Oui c'est nettement plus compréhensible et ton problème est une "simple" résolution d'une équation du second degré (on apprend à les résoudre en classe de 1ière, mais en classe de 3ième et de 2ième , on sait en résoudre certaines grâce aux identités remarquables )

    je suis OK : f(x)=π(x²-4x+8) représente l'aire de la partie hachurée

    Et je suis OK sur le calcul de l'aire de la partie rose qui est égale à :
    "Aires du demi disque AB" - f(x)= 8π−π(x2−4x+8)=π(4x−x2)8\pi-\pi (x^2-4x+8)=\pi(4x-x^2)8ππ(x24x+8)=π(4xx2)

    Quand a-t-on π(x2−4x+8)=π(4x−x2)\pi (x^2-4x+8)=\pi(4x-x^2)π(x24x+8)=π(4xx2)
    (
    équationE)?

    (E)⟺\Longleftrightarrow x2−4x+8=4x−x2x^2-4x+8=4x-x^2x24x+8=4xx2 ⟺\Longleftrightarrow

    2(x2−4x+4)=02(x^2-4x+4)=02(x24x+4)=0 ⟺\Longleftrightarrow

    x2−4x+4=0x^2-4x+4=0x24x+4=0 ⟺\Longleftrightarrow

    (x−2)2=0(x-2)^2=0(x2)2=0 ⟺\Longleftrightarrow

    x=2x=2x=2

    cqfd


  • L

    Merci beaucoup, enfaite ou je bloquais, c'était que je n'enlevait pas les π\piπ. Mais c'est vrai qu'avec les identités remarquable, après ça va tout seul 😉
    En tout cas merci encore de m'avoir "débloquée" et de m'avoir répondu. 😄


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