Losange d'aire fixée et de périmetre minimum

[majortom]

Bonjour,
en 2) d'un exercice intitulé comme ci-dessus;

On note u la fonction définie sur ]0;+inf[ par u(x)= x^2/4 + 64/x^2
Etudier le sens de variation de u

là je me dis qu'il s'agit de trouver la dérivée du quotient (x^4+256)/4x^2.... mais je trouve un résultat improbable.
Donc je me pose des questions sur la méthode à employer...
Une idée?
Merci

[mtschoon]

Bonsoir,

Pour u'(x) , tu as trouvé , ou tu aurais dû trouver après calculs : :

$u^{\prime }(x)=\frac{x^4-256}{2x^3}=\frac{(x^2-16)(x^2+16)}{2x^3}=\frac{(x-4)(x+4)(x^2+16)}{2x^3}$

Signe à étudier.

[majortom]

Bonsoir mtschoon,

Merci pour ta réponse.Non ce n'est pas ce que je trouve...
Donc tu me confirme que "là je me dis qu'il s'agit de trouver la dérivée du quotient (x^4+256)/4x^2." c'est bien la bonne methode?

[mtschoon]

Je confirme .

[majortom]

Ok c'est bon.
Je n'avais pas vu que je pouvais enlever 8x à mon résultat "improbable".
Merci.

[mtschoon]

Parfait .

[ptinoir_phiphi]

majortom
Donc tu me confirmes qu'il s'agit de trouver la dérivée du quotient (x^4+256)/4x^2" :
c'est bien la bonne méthode?

**Salut

Voici une autre méthode :**

Comme $u(x)=\left(\frac{1}{4}\right)x^2+64\left(\frac{1}{x^2}\right)$

1)
La fonction $u$ est dérivable sur son domaine de définition $d_u=r^{<}em>$ car la fonction $u$ est la somme de 2 fonctions dérivables sur $r^{<}/em>$

2)
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)x^2$
et
Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=64\left(\frac{1}{x^2}\right)$

on a $f^{\prime }(x)=\left(\frac{1}{2}\right)x$ et $g^{\prime }(x)=64\left(\frac{-2}{x^3}\right)=-128\left(\frac{1}{x^3}\right)$

DONC$\forall x\in r^{\ast }$ : $u^{\prime }(x)=\left(\frac{1}{2}\right)x-128\left(\frac{1}{x^3}\right)=\frac{x^4-256}{2x^3}$

[majortom]

Bonjour,

Merci bien ptinoir. c'était ma 1ere option mais des erreurs de calcul m'avaient fait douter et je m'étais orienté vers ce que tu as lu.

Je n'arrive pas à étudier le signe de la dérivée (2x-4)(2x+4)(4x^2+16)

2x-4=0 x= 2
2x+4=0 x= -2
4x^2+16 x= 2 et -2

Je sais par ailleurs que les racines de u sont -4 et 4.

Par contre je ne connais pas la règle ou théorème qui mène des uns aux autres.....
Et je n’ai pas trouvé mon bonheur en grenouillant sur le web.

Un lien ou une citation me permettant de comprendre serait bienvenu.

Merci d'avance

[ptinoir_phiphi]

Salut

Le signe de (2x-4)(2x+4)(4x^2+16) est
le mêmeque celui de (2x-4)(2x+4)

car $4x^2+16 > 0$ pour tout $x$

ps)
Attention de ne pas oublier le signe de $x^3$ au dénominateur de $u^{\prime }(x)$

[mtschoon]

S'il s'agit bien d'une question de l'exercice de départ , x ∈ ]0,+∞[ , donc pas de soucis pour le signe de $x^3$

[majortom]

Bonjour mtschoon.
Merci, on est toujours sur le même exercice de départ.

là je n'arrive pas à faire le lien avec ça:

<img src="" target="_blank">[img]http://nsa32.casimages.com/img/2013/01/24/130124053558481535.png" alt="[URL=http://www.casimages.com/img.php?i=130124053558481535.png][img]http://nsa32.casimages.com/img/2013/01/24/130124053558481535.png" />[/img]

[mtschoon]

Ta discussion est difficile à suivre ...

Tu as indiqué :
Citation
Je n'arrive pas à étudier le signe de la dérivée (2x-4)(2x+4)(4x^2+16)
DE quelle dérivée parles-tu ?
Visiblement , il ne s'agit pas de U'(x)...

En ce qui concerne le schéma joint , la courbe en noire correspond à la représentation graphique de la dérivée de la courbe en rouge

[majortom]

Désolé si je ne suis pas clair.

Citation
En ce qui concerne le schéma joint , la courbe en noire correspond à la représentation graphique de la dérivée de la courbe en rouge

On est bien d'accord la courbe en rouge est U(x)=x^2/4 + 64/x^2

la courbe en noir est la dérivée de U, U(x)= (x^4-256)/2x^3 et aprés factorisation........U(x)=[(x-4)(x+4)(x^2+16)]/2x^3 Mince alors

Tout s'explique.

A

[mtschoon]

Citation
On est bien d'accord la courbe en rouge est U(x)=x^2/4 + 64/x^2

la courbe en noir est la dérivée de U, U(x)= (x^4-256)/2x^3 et aprés factorisation........U(x)=[(x-4)(x+4)(x^2+16)]/2x^3
Oui , c'est tout à fait ça !

Remarque : dans cette discussion , je ne comprends toujours pas ce que vient faire le signe de la dérivée (2x-4)(2x+4)(4x^2+16) ...?..? cette dérivée est la derivée de qui ?

[majortom]

Hum !
en réponse à ta remarque, il s'agit d'une confusion partielle avec un autre exercice qui n'a rien à voir.
En bref, je me suis mélangé les crayons.

Tes remarques m'ont permis de remettre de l'ordre.
Et de mesurer le temps et les neurones perdus bêtement.
Ah MISERE!

Encore Merci.

[mtschoon]

De rien !

Une autre fois , si tu as des questions sur deuxexercices , ouvre deux discussions.

Il faut penser à ceux qui viennent consulter ...

C'est très bien si tu as compris l'exercice que tu posais .