cubes d'entiers

Bonjour,

Quelqu'un pourrait-il m'aider à finir mon exercice ?
Je bloque sur la dernière question....

Enoncé :

Le but de ce devoir est de :
"Trouver tous les entiers positifs n tels que n+184 et n-285 sont des cubes d'entiers"

Montrer que,pour tous réels $x$ et $y$ , $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

Ma réponse : $x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 +x^2y +xy^2 - yx^2 - y^3 = x^3 - y^3$

Montrer que "Trouver tous les entiers positifs n tels que n+184 et n-285 sont des cubes d'entiers" revient à chercher des entiers $x$ et $y$ tels que $x^3 - y^3 = 469$

Ma réponse : Si on suppose que $n + 184$ est un cube d'entiers, alors on peut l'écrire sous la forme $x^3$ ⇒ $x^3 = n +184$
Si on suppose que $n - 285$ est un cube d'entiers, on peut l'écrire $y^3$ ⇒ $y^3 = n - 285$
Donc : $x^3 - y^3 = (n + 184) - (n + 285) = n + 184 - n + 285 = 184 + 285 = 469$

Donner les différentes écritures de 469 sous la forme de produits d'entiers

Ma réponse : $469 = 469 * 1$ et $469 = 67 * 7$

Déduire de ce qui précède les solutions au problème posé

Je pense qu'il faut que je trouve une valeur pour $x$ et $y$ en identifiant $(x - y)$ et $x^2 + xy + y^2)$ à 469, 1, 67 ou 7 et qu'ensuite je pourrai en déduire la valeur de n sachant $x^3 = n + 184$ et $y^3 = n - 285$ mais je m'embrouille dans mes calculs depuis 2 jours.... Quelqu'un a-t-il une solution à mon problème ?

Merci d'avance

Salut

Je n'ai pas fait les calculs mais voici une piste qui pourrait te permettre de trouver :

"Tous les entiers positifs $n$ tels que $n + 184$ et $n - 285$ sont des cubes d'entiers"

Comme $x^3 - y^3 = 469$ donc $x - y)(x^2 + xy + y^2)= 469$ donc $x - y$ divise 469

Comme $\times 67$ , l'ensemble des diviseurs de 469 est donc l'ensemble { 1 , 7 , 67 , 469 }
Donc
soit x-y = 1
soit x-y = 7
soit x-y = 67
soit x-y = 469

Bonjour,
Tu traites l'une après l'autre chacune des possibilités.
Ainsi, x-y = 1 et x²+xy+y²=469 :
Tu remplaces y par x-1 ce qui te donne :
x² + x(x-1) + (x-1)² = 469
Équation du second degré que tu sais résoudre.
Mais tu dois vérifier que tu obtiens bien ainsi des entiers positifs vérifiant les conditions initiales.
En effet, ces conditions impliquent $x^3$ - $y^3$ = 469 mais il n'y a pas à priori équivalence.

mathtous

Mais tu dois vérifier que tu obtiens bien ainsi des entiers positifs vérifiant les conditions initiales.
En effet, ces conditions impliquent $x^3$ - $y^3$ = 469 mais il n'y a pas à priori équivalence.
Salut mathtous

"Tu es trop bon avec les internautes de $mathforu′\mathcal{mathforu'}$ qui demandent de l'aide" !
: - )

ps)
En effet , dans cet exo , il est important de faire la vérification des résultats qui sont trouvés par les calculs...

Bonjour ptinoir_phiphi,
Citation
"Tu es trop bon avec les internautes de Mathforu' qui demandent de l'aide" !On ne se refait pas ...
Voyons déjà ce que bouli1407 trouve, ça permettra d'ajuster notre aide.

Merci tout le monde !
J'ai compris la méthode....

Je verrai ça ce soir !

Finalement j'avais un peu de temps, alors j'ai jeté un oeil....

J'ai commencé par étudier le cas où x-y = 1 et donc x²+xy+y²=469
Je remplace y par x-1 ce qui me donne :
$x^2+x(x-1)+(x+1)^2 =3x^2-3x+1 = 469$

Mais, là , j'ai un delta<0 donc pas de solution....

j'ai fait une boulette quelque-part ?

Comment ça un delta négatif ?
3x² - 3x -468 = 0
On peut déjà simplifier par 3 :
x² - x - 156 = 0
Δ = 625 ? non ? (vérifie car je me trompe plus souvent qu'à mon tour).

Oups ! effectivement : grosse boulette ! désolé !
Bon, allez, je vais lever le masque : je ne suis pas élève de 1ère S, j'ai 45 ans, mon Bac date de...1985 et, là, j'essaye de réfléchir à un exercice soumis par un de mes neveux qui, lui, est en 1ère S...
Comme j'ai toujours eu un esprit très cartésien, j'essaye de m'y remettre, mais c'est pas évident ! Pardonnez-moi donc si mes réflexes vous semblent émoussés....

J'y retourne de ce pas....

45 ans c'est jeune.
Les vieillards maniaques comme moi peuvent de temps à autre commettre de grosses erreurs : on doit leur pardonner.

Revenons donc à nos moutons....

effectivement delta = 625 !!
donc 2 solutions : x1 = -12 et x2 = 13

comme on me demande un entier positif, il n'y a donc qu'une seule valeur pour x : 13

j'ai bon ?

Oui.
Un détail toutefois : l'énoncé demande que n soit positif et n'impose rien sur x.
Nez en moins, puisque $x^3$ = n+184, x est nécessairement positif.
Mais maintenant qu'on connaît x, il faut trouver y et n, puis vérifier.

c'est bon !
j'arrive, en définitive à n = 2013

Et quelle vérification faut-il faire ?

Et bien.... que x et y sont bien des entiers positif, non ?

x = 13 et y = 12

Heu, non.... ça ne doit pas être ça que vous attendez car je suis passé par ce résultat (x=13 et y=12) pour arriver à n = 2013

Je ne vois pas, non....

Salut

Comme , dans cet exo , on a raisonné par implication en supposant que :
le nombre entier $n$ existe et que les 2 nombres $n + 184$ et $n - 285$ sont
des cubes d'entiers:

IL NE FAUT PAS OUBLIER: lorsque tu calcules les valeurs de $x$ et de $y$
(*) lire le commentaire

1) de calculer la valeur du nombre $n$ ( il faut vérifier que $\in \mathbb{n}$ )

2) de faire la vérification des résultats : c'est à dire vérifier

que $\in (\mathbb{n}\times \mathbb{n})$
que les 2 équations référencées ci-dessous sont vraies
$x^3=n+184$
$y^3=n-285$

Commentaire (*)
Ne pas oublier d'étudier TOUS les cas possibles :
c'est à dire $x - y = 1$ ou $x - y = 7$ ou $x - y = 67$ ou $x - y = 469$ (avec la valeur, qui convient, pour le nombre $x^2 + xy + y^2$ )

En ce qui concerne les vérifications, tout dépend de l'ordre dans lequel les calculs ont été effectués.
Apparemment, tu as commencé par calculer x = 13, rejetant l'autre racine négative. Naturellement 13 est entier.
J'imagine qu'ensuite tu as calculé y = 12 par y = x-1 : pas besoin de vérification : x et 1 sont entiers, donc x-1 aussi.
Ensuite, tu as dû calculer n par n = $13^3$ - 184. Là encore, on est sûr que le résultat est entier. reste à vérifier qu'il est bien positif.
Enfin, la seule vraie vérification consiste à voir si 2013 -285 est bien égal à $12^3$ .

Bien sûr, il faut ensuite s'attaquer aux autres éventualités (x-y = 7, ...)
et faire la même chose.

@mathtous

Merci de préciser , d'après toi ce , qu'on doit on vérifier dans cet exercice pour pouvoir conclure sur une valeur possible de $n$ comme solution

@ptinoir_phiphi

J'ai apporté ces précisions parce que bon nombre d'élèves confondent vérification des calculs et vérification du raisonnement (lorsque, comme ici, on ne procède pas par équivalences mais par simples implications).

Un exemple amusant :
Je veux résoudre dans R l'équation :
x = x² + 1
donc x = x.x + 1
Je remplace l'un des x par x²+1 (puisque x = x²+1) :
x = x(x²+1) + 1
x = x³ + x + 1
d'où x³ = -1
Dans R, cette équation admet pour seule racine -1.
Or -1 n'est manifestement pas racine de l'équation donnée.
Trouver l'erreur.

@mathtous

Tu fais bien d'insister sur ce 2 sujets car c'est vrai que ces 2 types de vérifications sont utiles mais
n'ont pasle même but

Voici quelques compléments sur ce thème

1)
la vérification des calculs:
Elle n'est pas obligatoire et ne sert qu'à vérifier qu'on n'a pas fait d'erreur dans les calculs....

(ce qui est important , compte tenu de toutes les boulettes qu'on peut faire dans des calculs compliqués)

Exemple: Résoudre $x^2 -x -1=0$ dans IR

Calculons $δ=(−1)2+4=5>0\delta=(-1)^2+4 =5 \gt 0$ donc cette équation à 2 solutions
$x1=1−sqrt52x_1=\frac{1-sqrt5}{2}$
$x2=1+sqrt52x_2=\frac{1+sqrt5}{2}$

La vérification du calcul de $x_1$ consiste à développer (
et bien sûr on peut faire cette vérification avec l'aide de sa calculatrice)
l'expression : $\frac{1-sqrt5}{2})^2 -(\frac{1-sqrt5}{2}) -1$ et vérifier qu'on a bien $0$

2)
"Vérification" d'un raisonnement: c'est à dire dans des raisonnement par "implication" avec des conditions émises lors du raisonnement pour trouver les résultats....

Ce type de raisonnement fait qu'on travaille en 2 temps :

phase d'analyse où on est obligé de poser des conditions pour faire les calculs
phase de synthèse où est on obligé de vérifier si ces résultats sont exacts on non exact

Dans ces types de
RAISSONNEMENTSil est donc
TRES IMPORTANTde vérifier si les résultats vérifient les conditions pour pouvoir
EFFECTIVEMENTvalider ces résultats

Exemple: Résoudre $x^2 +x -1=0$ dans IR (équation de
mathous)

*Dans le raisonnement de
mathous(voir message ci dessus ) ,
( mathous[i]fait exprès de prendre une méthode bizarre *[/size] )

L'hypothèse émise par mathous[/size]
est que la solution qu'on a trouvée doit vérifier l'équation : x = x² + 1[/b] :

c'est à dire : Est ce que pour $x = - 1$ , on a bien : x = x² + 1 ?
ET comme la réponse est NON : la solution , $x = - 1$ , trouvée par cette méthode n'est pas bonne !

Voila j'espère que ces quelques explications supplémentaires pourront aider
quelques internautes....

@ptinoir_phiphi
Bonjour,
L'équation de Mathtous, x = x²+1, n'est pas équivalente à x²+x-1 = 0 mais à x² - x + 1 = 0 (écriture dont on se moque).
La méthode utilisée n'a rien de bizarre : on l'utilise fréquemment en trigo ou dans les corps finis.
Mais là n'est pas la question : je demandais : "Trouver l'erreur".

Bonjour Mathtous,

Je sais bien que c'est à ptinoir_phiphi que tu t'adresses , mais comme il ne va pas te répondre... , je me permets de mettre mon interprétation.

x=x²+1: équation définie dans R

Soit S l'ensemble de solutions

Le membre de droite (x²+1) est strictement positif

L'égalité n'est possible que si le membre de gauche (x) est strictement positif.

Donc : S C ]0,+∞[

Le calcul astucieux aboutit à x=-1

-1 ∉ ]0,+∞[

Donc S=∅

@ Mtschoon
Bonjour,
Personne ne veut donc répondre à "Trouver l'erreur" ?
L'erreur se situe en fait dans cette phrase elle-même : il n'y a aucune erreur mathématique.
Mais le "truc" est d'avoir fait un calcul conduisant à une conclusion que je me suis bien gardé de donner :
L'équation proposée n'admet aucune solution dans R.
Et c'est bien la conclusion à laquelle tu aboutis.
On pouvait également raisonner sans utiliser les signes :

Si l'équation admet une solution dans R, ce ne peut être que -1

Or -1 n'est pas solution de l'équation donnée

Donc cette équation n'admet aucune solution (dans R évidemment).

J'avais proposé cet exemple afin de préciser la notion de "vérification".

*Je ne savais pas trop ce que tu voulais , mais si c'était seulement pour préciser la notion de "vérification", ce que tu écris est bien sûr suffisant !

(L'étude préalable des signes évite de faire la vérification) *

*Je m'attendais à ce que quelqu'un me dise que je n'avais pas le droit de procéder comme je l'ai fait (augmenter le degré), ce qui aurait été une erreur mathématique.
Mais c'est raté : personne n'est tombé dans le panneau.
*

On ne peut pas gagner à tous les coups ! ( et Bonne après-midi ! )