Fonction croissante et dérivée positive

[mathieu42]

Bonjour à tous.
C'est une question de cours.
Le théorème de Lagrange stipule (on l'a admis sans démonstration);
Si f'(x)>0 sur un intervalle I(meme si elle s'annule en des valeurs isolées de I) alors la fonction f est stictement croissante sur I.
Si f'(x)...............................etc
Ma question est;
Est-ce que ce théorème admet une réciproque ? Je veux dire,est-ce qu'à partir du graphe d'une fonction qui "monte" sur I,je peux affirmer que f'(x) >0 sur I ?
Je vous remercie beaucoup.

[ptinoir_phiphi]

Salut

Cela dépend par ce que tu entends par une fonction qui "monte" sur I

Une fonction peut "monter" et ne pas être forcément dérivable en tout point

Exemple :
la fonction définie sur IR par f(x)= E(X) (partie entière) est une fonction en escalier "qui monte" et qui n'est pas continue en tout x de IN , donc pas dérivable...

Si ta question est :

*"Est-ce qu'une fonction strictement croissante ET
dérivablesur un intervalle I admet f'(x) > 0 pour tout x dans I' *

la réponse est OUI

(EDIT : explications supplémentaires)
Si une fonction est dérivable sur I et si le nombre dérivé en un point quelconque de I est strictement positif (c'est le coefficient directeur de la tangente en ce point) alors le fonction *"monte" * quand $x$ est dans I

Réciproque:
Si une fonction $f$ est dérivable sur I et si le graphe $c_f$ *"monte" * quand $x\in i$ alors la tangente en un point quelconque "monte aussi" et donc on a : $f'(x)> 0$ pour tout $x$ de I

[mathieu42]

Bonjour ptinoir_phiphi.
Vos explications sont très claires.Merci d'avoir pris sur vous tout ce temps.
De tout coeur MERCI.