Equations logarithme



  • Bonjour, j'ai des équations à résoudre et je ne sais pas comment procéder pour trouver les solutions. Pourriez vous m'aider svp?

    Voici l'énoncé:

    Résoudre dans R :

    1. lnx+lny=1
      lnx-2lny=-1

    2. ln(x+2)≤2lnx
      voici ce que je voulais faire pour la 2) :

    on veut x+2>0 ⇔ x>-2 et 2lnx>0 ⇔ lnx>0
    Donc D:]-2;0[

    ln(x+2)≤2lnx ⇔ x+2≤x² ⇔ -x²+x+2≤0

    Delta=9 donc √Delta=3
    x1=-2
    x2=-1

    -2 et -1∈]-2;0[
    Donc S:{.2;-1}



  • Bonjour,
    Citation

    1. ln(x+2)≤2lnx
      voici ce que je voulais faire pour la 2) :

    on veut x+2>0 ⇔ x>-2 et 2lnx>0 ⇔ lnx>0
    Donc D:]-2;0[

    ln(x+2)≤2lnx ⇔ x+2≤x² ⇔ -x²+x+2≤0

    Delta=9 donc √Delta=3
    x1=-2
    x2=-1

    -2 et -1∈]-2;0[
    Donc S:{.2;-1}
    Pourquoi tiens-tu à ce que ln x > 0 ?
    C'est x qui doit être supérieur à 0.
    De plus, tes racines sont fausses.
    Enfin, tu fais comme si tu avais une égalité alors qu'il s'agit d'une inégalité.



  • Donc x>e0e^0 ?
    x1= 2
    x2= -1

    Quelle est la différence? ...



  • Non : reprends tout
    l'écriture ln(x+2) exige x+2 > 0 c'est-à-dire x > -2
    l'écriture ln(x) exige x >0 (et si x >0, alors x > -2)
    En résumé, le domaine est ]0;+∞[
    Jusque là, ça va ?



  • oui



  • On continue.
    ln(x+2)≤2lnx ⇔ x+2≤x² ⇔ -x²+x+2≤0
    Oui, pourvu bien sûr que x > 0
    Maintenant, recalcule les racines.



  • Je trouve la meme chose qu'au début ...:

    -x²+x+2
    le discriminant est égale a 9 car:
    D=b²-4ac
    D=(1)²-4*(-1)2=9
    donc √D=3
    et x1=-1-3/2
    (-1)=2
    x2=-1+3/2*(-1)=-1



  • Non, au début tu trouvais -2 et -1
    Ensuite, tu as effectivement trouvé 2 et -1.
    Maintenant, attention : tu donnes S comme ensemble des solutions de -x²+x+2 = 0,
    alors qu'il s'agit en réalité d'uneinéquation : -x²+x+2 0
    Tu dois donc étudier le signe du trinôme et voir pour quelles valeurs de x il est négatif ou nul.



  • il est négatif en ]-∞;-1[ et ]2;+∞[



  • Non.
    Tu oublies deux chose :
    a) l'inégalité est "au sens large" (pas très grave)
    b) x doit être positif (ça c'est beaucoup plus important).



  • Ah oui, donc entre les racines soit ]-1;2[ (le sens des crochets est-il bon?)



  • Non.
    Mais ta réponse est pire que la précédente : ton ensemble contient 0 et des valeurs négatives.
    Le trinôme est négatif dans ]-∞;-1] ∪ [2;+∞[
    Malheureusement, cet ensemble ne constitue pas la réponse car il contient des valeurs négatives, ce qui a été exclu.
    Alors quel est le bon ensemble ?



  • et bien.. 0;2 ?



  • Tu veux dire ]0;2] ?
    Choisis une valeur simple dans cet intervalle, par exemple x = 1, et regarde si -x²+ x +2 est négatif ou nul quand on remplace x par 1.



  • Ahh oui je vois pourtant je le sais mais je n'y pense pas. C'est positif si je remplace c'est égale a 4. Merçi beaucoup.



  • Non, on obtient 2 (et pas 4), mais c'est quand même positif alors qu'on veut un résultat négatif.
    Je te rappelle :
    Citation
    Le trinôme est négatif dans ]-∞;-1] ∪ [2;+∞[
    Malheureusement, cet ensemble ne constitue pas la réponse car il contient des valeurs négatives, ce qui a été exclu.Autrement dit, ]-∞;-1] ∪ [2;+∞[ serait la bonne réponse s'il n'y avait pas cette condition x >0.
    Il faut en tenir compte, et il reste donc l'intervalle ...


 

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