Fonction logarithme et suites.
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Mmathieu42 dernière édition par
Bonjour.
f est fonction définie sur ]0;+oo[ par f(x)=5lnxxf(x)=\frac{5lnx}{\sqrt{x}}f(x)=x5lnx.
I)1°.Limites,variations,tangente (T)au point A(1;0),courbe de f et (T).
II)1°.Justifier que l'équation f(x)=-5 admet une unique solution $\alpha\in{]0,4;0,6[$;
2°.a) h(x)=e−xh(x)=e^{-\sqrt{x}}h(x)=e−x avec x>0.
Montrer que h(α)=αh(\alpha)=\alphah(α)=α.
b)calculer h'(x) et montrer que que pour tout x de [0,4;0,6] h(x) appartient à
[0,4;0,6] et ∣h′(x)∣≤0,43|h'(x)|\leq{0,43}∣h′(x)∣≤0,43.
L'exercice est un peu plus long.Je suis bloqué ici et je vous donnerai les autres questions après.
Je vous remercie d'avance pour votre aide éventuelle.La première partie est facile.Le TVI et son corollaire le théorème de la bijection nous permet d'écrire qu'il existe bien une solution unique de f(x)=-5.
II)2°.On sait que f(α)=5lnαα=−5f(\alpha)=\frac{5ln\alpha}{\sqrt{\alpha}}=-5f(α)=α5lnα=−5 et
lnα=−αln\alpha=-\sqrt{\alpha}lnα=−α et en utilisant la fonction exponentelle
α=e−α=h(α)\alpha=e^{-\sqrt{\alpha}}=h(\alpha)α=e−α=h(α).
b). h′(x)=−e−x2xh'(x)=\frac{-e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}h′(x)=2x−e−x donc la fonction h est strictement décroissante sur ]0,+oo[ et donc si $0,4\leq{x}\leq{0,6$ alors h(o,6)≤h(x)≤0,4h(o,6)\leq{h(x)}\leq{0,4}h(o,6)≤h(x)≤0,4 mais je sais que pour tout x de ]0,4;0,6[ h(x)=x.Je devrai avoir h(0,4)=0,4 et h(0,6)=0,6.L'inégalité demandée
devient pour moi 0,6≤h(x)≤0,40,6\leq{h(x)}\leq{0,4}0,6≤h(x)≤0,4.
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Mmathieu42 dernière édition par
Ah pardon,je viens juste de comprendre ;
puisque α∈[0,4;0,6]\alpha \in[0,4;0,6]α∈[0,4;0,6] et comme h(alpha)=alpha on remplace et h(x)∈[0,4;0;6]h(x)\in[0,4;0;6]h(x)∈[0,4;0;6].
L'encadrement de |h'(x)| me pose toujours problème.
Merci de m'aider.
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SShloub dernière édition par
Bonjour, je crois que tu es allé un peu trop vite.
h(x)=x n'est pas vrai pour tous les x. Seulement (à priori) pour la solution de f(x)=-5.
As-tu calculé la dérivée de h ? As-tu étudié ses variations ? Sa valeur en 0.6 ?
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Mmathieu42 dernière édition par
Bonjour Shloub.Merci à vous de me répondre.
Effectivement,j'ai commis une faute.Je voulais absolument utiliser ce résultat.
La fonction h est dérivable (composée de deux fonctions dérivables) sur
]0;+oo[ et $h'(x)=\frac{-e^{-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$ qui est strictement négative donc h est strictement décroissante sur ]0;+oo[.(2Vx est au dénominateur).
On a $0,4\leq{x}\leq{0,6$ donc $h(0,6)\leq{h(x)\leq{h(0,4)$ et enfin $0,46\leq{h(x)\leq{0,53$.
Ce domaine est bien inclus dans [0,4;0,6].
Pour l'ecadrement de ∣h′(x)∣=h(x)2x|h'(x)|=\frac{h(x)}{2\sqrt{x}}∣h′(x)∣=2xh(x) ,j'ai utilisé les propriétés des inégalités et :
0,4≤x≤0,60,4\leq{x}\leq{0,6}0,4≤x≤0,6 d'ou 20,4≤2x≤20,62\sqrt{0,4}\leq{2\sqrt{x}}\leq{2\sqrt{0,6}}20,4≤2x≤20,6 puis j'ai inversé et enfin multiplie.J'ai trouvé $0,28\leq{|h'(x)|\leq{0,47}$.
Je poserai après les autres questions.
Merci de corriger.
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Mmathieu42 dernière édition par
Bonjour.
Je vous donne la suite de l'exercice,en esperant que quelqu'un corrige ma réponse ci-haut.
III.) On considère la suite (Un) définie par Uo=0,4 et un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)un+1=f(un).
1°.Montrer que 0,4≤un≤0,60,4\leq{u_n}\leq{0,6}0,4≤un≤0,6.
2°.Montrer que pour tout n entier naturel ∣un+1−α∣≤0,43∣un−α∣|u_{n+1}-\alpha|\leq{0,43|u_{n} -\alpha}|∣un+1−α∣≤0,43∣un−α∣.1°.Initialisation. On a bien 0,4≤0,4≤0,60,4\leq{0,4}\leq{0,6}0,4≤0,4≤0,6.
Hérédité.
On suppose $0,4\leq{u_{n}\leq{0,6$ et puisque h est décroissante sur [O;+oo[ h(0,6)≤h(un)≤h(0,4)h(0,6)\leq{h(u_{n})}\leq{h(0,4)}h(0,6)≤h(un)≤h(0,4)
donc $0,4\leq{u_{n+1}\leq{0,6}$;
Je ne sais pas du tout comment aborder la 2eme question.
Merci pour vos réponses.
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SShloub dernière édition par
Tu ne veux pas calculer les variations de la dérivée et sa valeur en 0.4 ?
En remplaçant U(n+1) par son expression précédente dans la formule avec alpha, tu ne reconnais pas quelque chose (en passant un facteur de droite à gauche) ?
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Mmathieu42 dernière édition par
Bonjour Shloub.
Merci beaucoup d'avoir répondu.
J'ai calculé h"(x) et sauf erreur: hhh
qui est strictement positive sur ]0;+oo[ donc h' est strictement croissante sur ce meme intervalle et 0,4≤x≤o,60,4\leq{x}\leq{o,6}0,4≤x≤o,6 implique
h′(0,4)≤h′(x)≤h′(0,6)h'(0,4)\leq{h'(x)}\leq{h'(0,6)}h′(0,4)≤h′(x)≤h′(0,6) et −0,42≤h′(x)≤0,29-0,42\leq{h'(x)}\leq{0,29}−0,42≤h′(x)≤0,29 qui est bien inclus dans l'intervalle demandé.
On a un+1=h(un)u_{n+1}=h(u_{n})un+1=h(un).
Je vois très bien ce que vous voulez dire car on aurait :
h(un)−h(α)un−α\frac{h(u_n)-h(\alpha)}{u_n-\alpha}un−αh(un)−h(α) (car h(alpha)=alpha) qui est le taux d'accroissement de h et comme on vient de le montrer (j'espère l'avoir fait) pour sa valeur absolue,on en déduit:
$|u_{n+1}-\alpha|\leq{0,43|u_n-\alpha|$ .
Je ressens quand meme un malaise .D'une part ,j'ai un nombre dérivée(donc une limite) et de l'autre seulement un taux d'accroissement
sans intervention de la limite.Je ne sais pas si c'est correct.
J'essayerai de répondre à l'autre question la prochaine fois.
Encore MERCI pour vos indications.NB:J' ai tenté vainement d'écrire h"(x) mais l'expression n'apparait pas.
Je la presente sans LaTeX/
h"(x)=[e^(-Vx)[Vx +1]/4xVx.
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SShloub dernière édition par
Et si ce n'était pas alpha qui tendait vers Un mais l'inverse ?
(Dans le cas contraire, on pourrait, je pense conclure via http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_des_accroissements_finis#In.C3.A9galit.C3.A9_des_accroissements_finis)
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SShloub dernière édition par
Pour une démonstration simple :
- Poser X < Un - alpha
- Comparer (h(alpha + Un - alpha) - h(alpha) )/(Un - alpha) et (h(alpha + X) - h(alpha))/X
- Faire tendre X vers 0
- Conclure
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Mmathieu42 dernière édition par
Bonjour Shloub.Tout d'abord,merci d'avoir répondu.
On pose x<un−αx\lt{u_n-\alpha}x<un−α et α+x<un\alpha+x\lt{u_n}α+x<un et comme h est décroissante
h(α+x)−h(α)>h(un)−h(α)h(\alpha+x)-h(\alpha)\gt{h(u_n)-h(\alpha)}h(α+x)−h(α)>h(un)−h(α) .
D'autre part x<un−αx\lt{u_n-\alpha}x<un−α.On inverse et on multiplie membre à membre:
h(α+x)−h(α)x>h(un)−h(α)un−α\frac{h(\alpha+x)-h(\alpha)}{x}\gt{\frac{h(u_n)-h(\alpha)}{u_n-\alpha}}xh(α+x)−h(α)>un−αh(un)−h(α).
On fait tendre X vers 0 le 1er rapport(nombre dérivée de h en alpha) dont on connait l'encadrement et finalement par tansitivité de l'inégalité:
$|u_{n+1}-\alpha|\leq{o,43|u_n-\alpha|$.J'espère avoir compris et suivi vos indications.En tous cas,je vous remercie énormément.
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SShloub dernière édition par
Oui, je pense que tu as saisi l'idée.
De rien.
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Mmathieu42 dernière édition par
Très bonne fin de soirée à vous et bonne nuit.