Besoin d aide pour démontrer une inégalité



  • Bonjour je ne sais pas comment procéder pour resoudre cet exercice
    Pourriez vous m aider?

    Soit a,b,c trois réels strictement superieurs a 0
    Demontrer que :
    a/c + a/b +b/c + c/b + b/a + c/a >= 6

    Merci de toute aide



  • bonsoir

    a/c + a/b +b/c + c/b + b/a + c/a=

    (a²+b²)/ab + (c²+a²)/ca +(b²+c²)/bc

    or 0<= (a-b)²=a²+b²-2ab tu divise par ab car a et b >0
    donc
    0<= (a-b)²/ab=(a²+b²)/ab - 2

    tu en déduis que (a²+b²)/ab >= 2
    tu fais de meme pour les 3 autres quotients

    d'ou a/c + a/b +b/c + c/b + b/a + c/a >= 6



  • bjr
    merci de ta réponse mais pourrais tu developper un peu svp je comprends pas d ou tu trouve (a²+b²)/ab !
    Merci d avance



  • bsr

    reduction au meme denominateur (abc)

    puis factorisation par a, puis c puis b

    a/c + a/b +b/c + c/b + b/a + c/a=

    c(a²+b²)/cab + b(c²+a²)/bca +a(b²+c²)/abc

    puis simplification par c, par b, puis a
    d'ou
    a/c + a/b +b/c + c/b + b/a + c/a=

    (a²+b²)/ab + (c²+a²)/ca +(b²+c²)/bc


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