Besoin d aide pour démontrer une inégalité

[irlandais]

Bonjour je ne sais pas comment procéder pour resoudre cet exercice
Pourriez vous m aider?

Soit a,b,c trois réels strictement superieurs a 0
Demontrer que :
a/c + a/b +b/c + c/b + b/a + c/a >= 6

Merci de toute aide

[karim1290]

bonsoir

a/c + a/b +b/c + c/b + b/a + c/a=

(a²+b²)/ab + (c²+a²)/ca +(b²+c²)/bc

or 0<= (a-b)²=a²+b²-2ab tu divise par ab car a et b >0
donc
0<= (a-b)²/ab=(a²+b²)/ab - 2

tu en déduis que (a²+b²)/ab >= 2
tu fais de meme pour les 3 autres quotients

d'ou a/c + a/b +b/c + c/b + b/a + c/a >= 6

[irlandais]

bjr
merci de ta réponse mais pourrais tu developper un peu svp je comprends pas d ou tu trouve (a²+b²)/ab !
Merci d avance

[karim1290]

bsr

reduction au meme denominateur (abc)

puis factorisation par a, puis c puis b

a/c + a/b +b/c + c/b + b/a + c/a=

c(a²+b²)/cab + b(c²+a²)/bca +a(b²+c²)/abc

puis simplification par c, par b, puis a
d'ou
a/c + a/b +b/c + c/b + b/a + c/a=

(a²+b²)/ab + (c²+a²)/ca +(b²+c²)/bc