Effectuer des calculs sur les nombres complexes

Bonjour à tous,
Voila je bloque sur une exercice, et j'aurais besoin d'aide, quelqu'un ppourrait-il m'aider ?

Soit z appart C-{2} et Z= 3z+1/z-2
Le but de l'exercice est de déterminer l'ensemble E des nombres complexes z pour lequel Z est un nombre réel.

Avec les parties réelle et imaginaire
a. On pose z=x+iy et Z=X+iY avec x, y, X, Y réels.
Exprimer X et Y en fonction de x et y.
b. déduire l'ensemble E.
2.Avec le conjugué
a. Démontrer que : Z =Zbarre avec Z réel
b. En déduire une nouvelle démonstration du résultat de la question 1b

Voila mes résultats :
1)a. X=(3x²-5x+3y²-2)/(x-2)²+y²
Y=-7y/(x-2)²+y²

b. E (0;x) privé du point (2;0)

a. Je développe (3z+1)(zbarre-2)-(3zbarre+1)(z-2)=0
Je trouve 6(z-zbarre) Est correct ? Et que puis je en déduire ?

En vous remerciant d'avance

Bonjour,

Je regarde tes réponses.

Oui pour 1)a)

Pour 1)b) , je comprends mal ce que tu as écrit ( mais tu as peut-être pensé juste...)

Avec la condition (x,y)≠(2,0)

Z réel <=> Im(Z)=0 <=> 7y=0 <=> y=0

L'ensemble E est donc l'ensemble R des réels , privé de 2 :E= R-{2}
Pour le 2)a) , c'est seulement une proprité générale à prouver :

En utilisant la forme algébrique

$z=z‾⟷x+iy=x−iy⟷y=−y⟷2y=0⟷y=0⟷zreelz=\overline{z} \longleftrightarrow x+iy=x-iy \longleftrightarrow y=-y \longleftrightarrow 2y=0 \longleftrightarrow y=0 \longleftrightarrow z reel$

Il te reste à utiliser cette propriété pour le 2)b)

Reposte si tu n'y arrives pas.

Je vous remercie !
J'ai rectifier mon erreur pour la quest. b., c'était en effet une erreur d'écriture mais j'avais compris le principe !

Pour la 2)a. j'ai compris la démonstration, je ne doit donc faire que ca ?
Car moi j'avais dis que (3z+1)/(z-2)=(3zbarre+1)/(zbarre-2)
et donc que (3z+1)(zbarre-2)-(3zbarre+1)(z-2)=0
6(z-zbarre)=0
z-zbarre=0
z=zbarre
Cela est donc incorrect (ou inutile) ?

Par contre je ne vois pas comment continuer pour la 2)b. ...

Pour le 2)a) , oui , tu ne dois faire QUE ce que je tai indiqué .

L'énoncé te demande de prouver une propriété , que je te mets en français :

Un nombre complexe est réel si et seulement si il est égal à son conjugué.

Pour le 2)b) , tu utilises cette propriété :

$\longleftrightarrow z=\overline z$

Tu explicites cela en utilisant las propriétés des conjugués que tu as vu en cours ( et que tu dois détailler ) :

Pour z ≠ 2

Tu obtiens ainsi :

$3z+1z−2=3z‾+1z‾−2\frac{3z+1}{z-2}=\frac{3\overline z+1}{\overline z-2}$

Tu fais les produis en croix , tu réduis et tu dois trouver que cette égalité équivaut à

$z=z‾z=\overline z$

Cette affirmation te permet de conclure ( encore en utilisant la propriété du 2)a) ) que z est réel ( et privé de 2 , vu la condition de départ )

Tu retouves ainsi : $e=r-{2}$

Bon calcul !

Merci 1000 fois !

De rien !

A+