Des Complexes, complexes...

Bonjour,
Je me premet de vous demander de l'aide car je suis bloqué sur un exercice dont voici l'énnoncé :

a et b sont nons nuls, soit z le nombre complexe z=a+bi et le 7 nb associés a z : a-bi, -a+bi, -a-bi,b+ai, -b+ai, b-ai, -b-ai.

Faire un figure en placant les images de ces 8 nb avec a=1 et b=3.
J'obtient un cercle.
Soit r le module de z et θ un argument de z.
a.Quels sont les modules des 7 autres nombres ? Qu'en deduire graphiquement ?
Le module de z est 2 et celui des autres nombre est 2 également. J'en conclus que tout les point se trouvent à la meme distance de l'origine et donc qu'il forment un cercle est correct ?

b. Exprimer en fonction de θ un argument de chacun des 7 nombres associés a z.
Le je ne vois pas comment faire...

Merci d'avance!

Le module est 2 ? Tu n'aurais pas choisis a et b particuliers, par hasard ?

Tu as essayé d'écrire tes nombres en coordonnées polaires (avec les cos et sin) ?

Bonjour, ton raisonnement est faux car tu te places dans un cas particulier.
Calcule le module de chacun des nombres en fonction de a et b.

Bonjour Shloub
Désolé, messages croisés.

Aucun souci

Bonjour à vous deux également, j'ai oublié.

Pardon, il est vrai que j'ai repris les nombre 1et 3 !
Je trouve donc √a²+b². Est-ce correct ?
Dans ce cas je ne vois pas ce que je peux en déduire graphiquement...

Tu trouves √(a²+b²) pour les 8 nombres ?
Si oui, ils ont tous le même module et donc ...
Ton énoncé n'est pas clair : a=1 et b=3, c'est uniquement pour pouvoir faire un dessin, ou ce sont des valeurs à garder ?

J'en conclus qu'ils sont tous à la meme distance de l'origine et donc qu'il forment un cercle ?

Je pense qu'elles sont la uniquement pour le dessein apres reflexion !

Dans ce cas, comment puis je exprimer l'argument des 7 nombres ?

Citation
J'en conclus qu'ils sont tous à la meme distance de l'origine et donc qu'il forment un cercle ?Ils sont sur le cercle de centre O et de rayon r = √(a²+b²).
Mais ils ne "forment" pas ce cercle : ils ne sont que 8 et un cercle possède une infinité de points.

Commençons par z = a+bi : quels sont le cosinus et le sinus de son argument ?

D'accord, oui c'est évident !

cosθ=a/r soit a/(√a²+b²)

sinθ=b/r soit b/(√a²+b²)

Passons à -a-bi : comment est situé le point par rapport au point d'affixe z ?

-a-bi=-z, le point est donc opposé a celui d'affixe z

Opposé par rapport à O.
Alors, comment trouver son argument θ' à partir de celui de z ?

Ce serait donc l'opposé de l'argument θ ? A savoir cosθ' =-a/-(√a²+b²) ?

Non.
Pour commencer, si tu prends l'opposé du numérateur et l'opposé du dénominateur, tu ne changes pas le quotient.
Mais de toute façon, les deux complexes sont opposés, mais pas leurs arguments : aide-toi du dessin pour voir qu'on passe de θ à θ' en ajoutant une valeur simple.

On ajoute $p i$ pour passer à l'opposé, mais je n'ai aucune idee de comment démontrer cela...

C'est du cours (collège, cercle trigonométrique).
On a donc θ' ≡ θ + π [modulo 2π]

Au tour de -b+ai : comment passer du point d'affixe z au point d'affixe -b+ai : pas par une symétrie centrale cette fois, mais par ...

Symétrie par rapport aux ordonnées, ce qui équivaut à θ''≡θ+ $p i$ /2

Citation
Symétrie par rapport aux ordonnéesCa ne veut rien dire.
Il s'agit d'une rotation de cntre O et d'angle π/2 dans le sens direct.
Ce qui revient à effectuer une multiplication par i (vérifie : i(a+bi)=-b+ai).
En effet, i = $e^{iπ/2}$ : tu peux si tu veux utiliser les formes exponentielles qui te donnent le lien entre les arguments.
La réponse est bien θ" ≡ θ +π/2 [modulo 2π]

Je reviens à ton ancienne question :
Citation
mais je n'ai aucune idee de comment démontrer cela...Tu peux utiliser aussi la trigo : sin(θ+π)=-sin θ et cos(θ+π) = -cos θ.
Toutes ces méthodes sont équivalentes : tu choisis comme tu veux.

Maintenant, au tour de b-ai. Tu vas vite être à cours de notations (θ', θ", ...), alors continue à appeler θ' le nouvel argument, ou sinon arg(b-ai).

Je vous remercie de votre patience !

Et je pense utilisé la trigo.

Pour obtenir b-ai, je doit faire une rotation de centre O et d'angle 3π/2.
Donc θ'=θ+3π/2 or cos θ+3π/2=cos θ+π/2
et sin θ+3π/2= -sinθ +π/2

Est ce le principe ?

Tu fais en fait deux choses :
une rotation, qui te donne directement le résultat (modulo 2π), et des formules de trigo difficiles à lire (pas de parenthèses)
Est-ce cos (θ+3π/2)=cos (θ+π/2) ? (qui est fausse)
est-ce sin (θ+3π/2)= -sin(θ +π/2) ? (qui est juste)
De toute façon, pas besoin de la trigo si tu utilises la rotation !

Plus tu auras de résultats, plus tu auras de possibilités pour effectuer de nouveaux calculs. Je te laisse donc maître du nombre suivant.

J'essaie pour un suivant :
b+ai : θ'=θ+(3π/4)

Je pense devoir utiliser la trigo, pour un minimum de justification...

Mais comment faire ici ?

Tu n'es pas obligé d'utiliser la trigo.
Mais ta réponse est fausse.
Pour justifier, explique à partir de quel point déjà connu tu as raisonné.
De plus, tu n'as pas choisi le plus simple.
Allez, cherche plutôt l'argument de a - bi.

Je trouve θ=-θ' car cos (-θ)=cosθ, c'est cela ?

Oui. Les deux points d'affixes a+bi et a-bi sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, donc leurs arguments sont opposés, modulo 2π (n'oublie pas).

Pour z=-a+bi θ=-θ' car sin(-θ)=-sin(θ)

Pour z=b+ai θ=θ'+π/4

pour z=b-ai θ'=θ-π/2

pour z=-b-ai θ+3π/4=θ' θ'-3π/4=θ

Est-ce juste ?

Non.
Tu vas trop vite cette fois.
b-ai a déjà été traité, inutile de recommencer.

Les autres sont faux.
Reprends -a+bi : avec qui le compares-tu ?

Je le compare avec a+bi,
Il est symétrique par rapport aux ordonnés.

Par rapport à l'axe des ordonnées.
Quel est alors le lien entre leurs arguments ?
Pour t'aider, tu peux faire plusieurs petits schémas, où tu ne places que les deux points comparés.

Ils ont donc le meme sinus, alors θ'=π-θ

Je dois me déconnecter, aussi je vais (exceptionnellement) te donner les réponses "brutes" : à toi de voir comment tu peux les retrouver.
arg(-a+bi) ≡ -θ +π
arg(b+ai) ≡ -θ +π/2
arg(-b-ai) ≡ -θ -π/2
Le tout modulo 2π.

Merci beaucoup, je vais étudier ca !