dérivabilité et variation de fonction

Bonjour
J'aimerais avoir votre aide svp

Soit f et g deux fonctions dérivables sur [0;+oo[ telles que f(0)=g(0) et, pour tout x≥0 :
f'(x)≥g'(x).
Démontrer que, pour tout x≥0, on a f(x)≥g(x).

Voilà ce que j'ai fait (mais je pense que c'est faux)
On note h'(x), f'(x)-g'(x)
f'(x)≥g'(x)
⇔f'(x)-g'(x)≥0
⇔h'(x)≥0
La dérivée est positive donc h(x) est croissante.

Merci à ceux qui pourront m'aider

Bonjour,
Il manque forcément quelque chose puisque tu n'utilises pas le fait que f(0) = g(0).
En outre, h '(x) ne permet pas de connaître exactement h(x) (une primitive est définie à une constante près).
Tu aurais dû commencer par poser h(x) = f(x) - g(x).

Ensuite je fais quoi ?

Je ne vois pas très bien comment il faut effectuer la démonstration ?

Ensuite, tu peux raisonner comme tu l'avais fait.
Que vaut h '(x) ? quel est son signe ?

f(x)-g(x)≥0
donc la fonction est positive

Pourrais-tu détailler ?
Citation
Que vaut h '(x) ? quel est son signe ?

J'ai vraiment du mal à cet exercice
f(x)-g(x)≥0
donc h(x) est positive
On ne peut pas déterminer le signe de la dérivé car la fonction peut être positive et tantôt croissante tantôt décroissante tout étant positive.

Tu ne réponds pas à ma question : quelle est la dérivée de h ?
On a h(x) = f(x) - g(x)
Donc h '(x) = f '(x) - g '(x).
Or on sait que f '(x) ≥ g '(x)
donc f '(x) - g '(x) ≥ 0
Donc h '(x) ≥ 0
Donc h est croissante sur [0 ; +∞[
Or, h(0) = f(0) - g(0) = ??

On a h(x) = f(x) - g(x)
Donc h '(x) = f '(x) - g '(x)

Je ne savais pas qu'on pouvait passer de cette ligne à l'autre.

Or, h(0) = f(0) - g(0) = 0 c'est juste ??
ceci permet de démontrer que h(x) est positive ?

Citation
Je ne savais pas qu'on pouvait passer de cette ligne à l'autre.Tu ne sais pas prendre la dérivée d'une différence ?

Citation
Or, h(0) = f(0) - g(0) = 0 c'est juste ??Oui, mais c'est parce que f(0) = g(0) que h(0) = 0 : il faut justifier, d'autant plus que c'est cette donnée que tu n'avais pas prise en compte au début.

Citation
Donc la dérivée est une droite horizontale parallèle à l'axe des abscisses.Depuis quand une fonction (dérivée ou pas) est-elle une droite ?!

Laisse tranquille tes maxima ou minima locaux.
Par contre il y a un minimum "global" : lis la suite.

Citation
Donc h est croissante sur [0 ; +∞[Or, h(0) = 0.
Conclusion ?

Oui je me suis rendu compte de la ma bêtise une fois que j'ai posté

Oui je me suis rendu compte de la ma bêtise une fois que j'ai posté

Citation
Donc h est croissante sur [0 ; +∞[
Or, h(0) = 0.
Conclusion ?

Donc je reprends
Pour tout x défini sur [0;+oo[
on sait que h(0)=0 et h(x) est croissante
donc h(x) est positive ?

L'explication est-elle suffisante ?

Oui : h croît de 0 à ... peu importe.
Elle augmente à partir de 0, donc elle est positive ou nulle.
Mais n'oublie pas de terminer :
h(x) ≥ 0 et h(x) = f(x) - g(x) , donc ?

On a h(x) = f(x) - g(x)
Donc h '(x) = f '(x) - g '(x).
Or on sait que f '(x) ≥ g '(x)
donc f '(x) - g '(x) ≥ 0
Donc h '(x) ≥ 0
On sait donc que h est croissante sur [0 ; +∞[ et que f(0)=g(0)
d'où h(0) = f(0) - g(0) = 0
Donc h est croissante et positive ou nulle.
On obtient h(x)≥0
donc f(x)-g(x)≥0
donc f(x)≥g(x)

La rédaction est-elle bonne ?

Citation
On sait donc que h est croissante sur [0 ; +∞[ et que f(0)=g(0)évite ici "on sait" : réserve-le uniquement pour les données.
Il suffit de dire : "donc h est croissante sur [0 ; +∞["
Ensuite, tu peux dire : "et de plus on sait que f(0) = g(0)"

Merci

J'ai une autre démonstration à faire

Démontrer à l'aide de la dérivation que l'inverse d'une fonction croissante (et qui ne s'annule pas) sur un intervalle I est une fonction décroissante et sur I.

f(x) est une fonction croissante sur I donc f'(x)≥0
(1/f)'=-f'/f²
f'≥0 et f²≥0
donc -f'/f²<0
donc (1/f)'<0
Donc 1/f est décroissante

C'est juste ?

Faut-il que je distingue le cas où f est négative et f est positive ?

??

Pour un nouvel exercice, crée un nouveau sujet.