Divisibilité.
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Mmathieu42 dernière édition par
Bonjour à vous tous.
a et b sont deux entiers naturels tels que a=6k+5 et b=8k+3.
Montrer que a et b ont deux diviseurs positifs.Soit d diviseur commun à a et b :
[d|6k+5 et d|8k+3] donc [ d|4(6k+5) -3(8k+3) et d|8k+3 ] donc
[d|11 et d|8k+3].
11 a deux diviseurs positifs 1 et 11 donc les diviseurs positifs de a et b sont 1 et 11.Le problème est que si j'utilise d'autres combinaisons linéaires,je trouve d|22.....etc.
Merci d'avance pour votre aide.
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SShloub dernière édition par
Salut,
Il ne manque pas quelque chose dans ton énoncé ? Par exemple le domaine de k ? Les diviseurs doivent être communs ?
Par exemple pour k=0 ta preuve ne semble pas correcte.
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Mmathieu42 dernière édition par
Bonjour Schloub.
La question est :
montrer que a et b ont deux diviseurs communs positifs avec k entier naturel.
Je vous prie de m'excuser et merci pour votre aide.
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SShloub dernière édition par
Je reste sceptique, ça ne semble fonctionner ni pour k=0 ni pour k=3.
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Mmathieu42 dernière édition par
L'exercice est ainsi posé.Il n y'a pas d'autres indications.
Ca marche seulement pour k=1 ?
Ou bien faut-il résoudre les équations diophantiennes
6k+5=11m et 8k+3=11n pour déterminer k ?
Merci.
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SShloub dernière édition par
Il semblerait que ça fonctionne pour k=11K+1.
Tu peux peut-être essayer de démontrer ce résultat.
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Mmathieu42 dernière édition par
Salut.
Effectivement ,en résolvant les équations citées plus haut ,je trouve pour la première :
m=6K+1 et k=11K+1 et pour la deuxième:;
n=8K'+1 et k=11K'+1 donc K=K' (car k=k donc K=K').
Pour 1 c'est évident mais pour 22,44....Les équations sont de la forme
8k-2(..)=3 et 6k-2(..)=5 impossibles à résoudre.
Est-ce bien ça ?
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SShloub dernière édition par
22 et 44 ne sont pas de la forme 11K+1.
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Mmathieu42 dernière édition par
D'accord.Merci pour tout.