Etude d'une variance

Quelques petits problèmes à résoudre cet exercice ...
Voici tout d'abord l'énoncé :

On considère une série statistique de trois nombres : 3a, (-a-1), (a+4) où a est un réel.

1 a- Calculez la moyenne m de cette série.
b- Calculez la variance V de cette série.

2- Démontrez, sans utiliser la règle du signe d'un trinôme, que : pour tout réel x, $8x^2$ + 4x + 14 ≥ 0.

Il y a 4 parties, mais pour l'instant, je cherche déjà à réussir les 2 premières.

J'ai réussi à calculer la moyenne, j'obtiens 3a.
Pour la variance, j'obtiens (-3-6a)/3. Mais je n'arrive pas à continuer. Y a-t-il quelque chose à simplifier avec les 3 au numérateur et au dénominateur ???

Pour la question 2, ce qui me pose problème c'est "sans utiliser la règle du signe du trinôme". Cela veut-il dire que l'on peut pas dire que le signe de a (ici est + donc la fonction est supérieure à 0 ? Si oui, peut-on utiliser delta et faire une étude d'une fonction de polinôme de degré 2 ?

Merci de votre aide

Raphaelle89

Bonsoir raphaelle89,

Vérifie le calcul pour la moyenne.

Noemi
Vérifie le calcul pour la moyenne.

$x_1$ + $x_2$ + $x_3$

N

3a + (-a-1) + (a+4)
= _______________
3

3a - a - 1 + a + 4
= ________________
3

3a + 3
= ______
3

= 3a

... voilà mon résonnement, et je ne vois pas comment faire autrement ...

Désolée pour la mise en page, j'ai un peu de mal à faire clair !

(3a+3)/3 = 3a/3 + 3/3
= a + 1

Noemi
(3a+3)/3 = 3a/3 + 3/3
= a + 1

Wahou ! On a le droit de faire comme ça ??? (Enfin surement si vous le dites !)
Mais je n'aurais jamais osé faire comme ça !
Merci beaucoup

Et donc pour la variance : ((3a-3a)² + (-a-1-3a)² + (a+4-3a)) / 3
Doit-on faire une identité remarquable pour (3a-3a)² et obtenir 3a² - 12a + 3a² ?
Et donc la suite (-a-1-3a)² → -a² -1² -3a² ???
Idem pour (a+4-3a)² → a² + 4² - 3a² ???
Tout ça sur 3.

Vérifie tes calculs, la moyenne est a + 1 !!

Ah mais oui !!! Quelle cruche !

Donc c'est : (a+1-a-1)² + (a-1-a-1)² + (a+4-a-1)² / 3 ???
Et donc : a²+1-a²-1+a²-1-a²-1+a²+16-a²-1 / 3 ???
Ou alors : (a+1-a-1+a-1-a-1+a+4-a-1)² / 3 ???

D'ou vient le a+1 et le a- 1 au début des premières parenthèses ??

Noemi
D'ou vient le a+1 et le a- 1 au début des premières parenthèses ??

J'ai oublié de corriger mon erreur à la moyenne...

Reprenons, V = (3a-(a+1))² + ((-a-1)-(a+1))² + ((a+4)-(a+1))² / 3
Et là ça se complique ...
⇔(3a²-6a(a+1)+(a+1)²) + ((-a-1)²-2(-a-1)(a+1)+(a+1)²) + ((a+4)²-2(a+4)(a+1)+(a+1)²)
⇔(3a²-6a²-6a+(a²+2a+1)) + ((-a²+2a+1)+2a²+4a+2+(a²+2a+1)) + ((a²+8a+16)-2a²-10a-8+(a²+2a+1))
⇔(-2a²-4a+1) + (2a²+8a+4) + 9
⇔4a+14
... Il y a un problème, mais impossible de trouver où ...
Juste par curiosité, c'est vraiment du niveau Première ???

Simplifie l'expression entre parenthèses avant d'élever au carré.

Donc ça fait :
(2a+1)² + (-2a-2)² + 3² ??????

Une erreur de signe pour le premier terme.
Développe et n'oublie pas de diviser par 3.

C'est bon j'ai réussi !
J'ai trouvé 8a²+4a+14 / 3
J'ai également réussi la deuxième et la troisième question.
Dans la 3ème question, il était demandé s'il existait des nombres a tels que V=4 et V=14/3.
Pour V=4 j'ai trouvé ∅ et pour V=14/3 j'ai trouvé -1/2 et 0.

Voici maintenant la 4ème ...
Trouvez tous les nombres entiers k tels que la propriété suivante est vérifiée : il existe deux nombres réels a tels que V=k/3.

Et alors là, pour moi, c'est le trou noir ...

Résoudre :
8a²+4a+14- k = 0

Noemi
Résoudre :
8a²+4a+14- k = 0

D'accord, mais j'essaie quand meme de comprendre ce que je vais écrire dans ma copie, et là ...

Ecris l'équation V = k/3, puis tu la simplifies avant de la résoudre.

Ok, mais concrètement, je n'ai aucune idée de comment résoudre
8a²+4a+14-k + 0 ...

8a²+4a+14- k = 0
est une équation du second degré en a.

Bonjour,
Pour la deuxième question on peut utiliser delta ?

Bonsoir Tiph32,

On peux utiliser delta ou étudier la fonction correspondante.