Montrer à l'aide de vecteurs que des droites sont parallèles

Bonjour j'ai un exercice noté à faire pour vendredi :

Voici l'énoncé :

Soit ABC un triangle,
Les points I, J et K sont définis par :
$ai⃗=35ab⃗\vec{ai} = \frac{3}{5}\vec{ab}$ ; $cj⃗=32bc⃗\vec{cj} = \frac{3}{2}\vec{bc}$ ; $ck⃗=23ac⃗\vec{ck} = \frac{2}{3} \vec{ac}$

On considère le plan du repère (B, C, A)

Donner les coordonnées des points de la figure.
Démontrer que les droites (AJ), (BK) et (CI) sont parallèles.

Voici mes réponses :

A (0;1)
B (0;0)
C (1;0)
I (0; $25\frac{2}{5}$ )
J ( $52\frac{5}{2}$ ; 0)
J'ai un doute pour les coordonnées du point K j'ai trouvé K (1;0)

Pour montrer que les droites (AJ), (BK) et (CI) sont j'ai d'abord voulu calculer les coordonnées de leurs vecteurs puis utiliser la formule de colinéarité (xy'-yx' = O) mais lorsque que je fais le calcul, je ne tombe pas sur 0.

Alors j'ai exprimé les vecteurs AJ, BK et CI en fonction des vecteurs AB et BC :

$aj⃗\vec{aj}$ = AC + CJ
= AC + $32\frac{3}{2}$ BC
= AB + BC + $32\frac{3}{2}$ BC
= -AB + $52\frac{5}{2}$ BC
Donc $aj⃗=52bc⃗−ab⃗\vec{aj} = \frac{5}{2}\vec{bc} - \vec{ab}$
et donc $aj⃗\vec{aj}$ à pour coordonnées (5/2 ; -1)

Je ne suis pas sure pour ce vecteur
$bk⃗\vec{bk}$ = BC + CK
= BC + $23\frac{2}{3}$ AC
= BA + AC + $23\frac{2}{3}$ AC
= BA + AC
Donc $bk⃗=bc⃗\vec{bk} = \vec{bc}$
et donc les coordoonnées de BK sont (1,0)

$ci⃗\vec{ci}$ = CB + BI
= CB + BA - AI
= CB + BA - $35\frac{3}{5}$ AB
Donc $ci⃗=−bc⃗+25ab⃗\vec{ci} = -\vec{bc} + \frac{2}{5}\vec{ab}$
Et donc les coordonnées de CI sont (-1; $25\frac{2}{5}$ )

Ensuite pour la conclusion je voudrai savoir si c'es correct ou est ce qu'il manque quelque chose dans mon raisonnement.
Comme les vecteurs AJ, BK et CI ont les mêmes vecteurs colinéaires c'est à dire les vecteurs BC et AB; ils sont colinéaires entre eux.
Donc les droites (AJ), (BK) et (CI) sont parallèles entre elles.

Est ce juste ?
Merci de porter attention à mon message et MERCI d'avance pour votre aide

Bonjour,
C'est bien CK = (2/3)AC (les vecteurs) ?
Détaille le calcul des coordonnées de K
Ce ne peut pas être (1;0) sinon K serait confondu avec C.

Bonjour,
Oui c'est bien ça, c'est que je me disait mais je ne vois pas quelles pourraient être les coordonnées de K

Merci de ton aide

Pour obtenir les coordonnées de K, tu dois exprimer le vecteur BK en fonction de BC et BA : avec la relation de Chasles et en utilisant la donnée CK = (2/3)AC

Je l'ai fait déjà fait et j'ai trouvé :
BK = BC + CK
= BC + AC
= BA + AC + AC
= BA + AC
Donc BK = BC
et donc les coordonnées de BK sont (1,0)

Ton calcul est totalement faux.
Citation
BK = BC + CK
= BC + ACTu remplaces CK par AC mais ils ne sont pas égaux.
L'énoncé ne dit pas CK = AC, il dit CK = (2/3)AC

Oui désolé j'ai mal recopié
du coup c'est
BK = BC + CK
= BC + 2/3 AC
= BA + AC + 2/3 AC
= BA + AC
Donc BK = BC
et BK (1;0)
comment ensuite déduire les coordonnées de K ?
faut-il faire une équation tel que :
xK - 0 = 1
et yK - 0 = 0

ce qui donne xK = 1 et yK = 0
ce sont les mêmes coordonnées que pour C :frowning2:

Tu aurais dû garder BC qui est le premier vecteur du repère.
Mais il y a plus grave :
Citation
BA + AC + 2/3 AC
= BA + AC2/3 AC à de nouveau disparu !

A partir de :
BK = BC + CK
= BC + 2/3 AC
décompose AC :
BK = BC + 2/3(... + ...)

Je pensais que AC+2/3AC = AC

alors c'est
BK = BC + 2/3AC + CK
BK = BC + 2/3AC + 2/3 AC
BK = BC + 4/3 AC
donc BK (1;4/3)

et donc K(1;4/3)

Citation
Je pensais que AC+2/3AC = ACTu vois bien que ça n'est pas possible (sauf si AC est le vecteur nul, ce qu'il n'est pas).

Lis quand même ce que j'écris et tiens-en compte:
Citation
A partir de :
BK = BC + CK
= BC + 2/3 AC
décompose AC :
BK = BC + 2/3(... + ...)
Et non pas BK = BC + 2/3AC + CK : cette fois, il y a CK en trop.
Continue mon calcul, en tenant compte des parenthèses.

BK = BC + 2/3(AC+CK) ??

Non : dans la parenthèse il doit y avoir une somme égale au vecteur AC. Ce ne peut donc pas être AC + quelque chose.
Décompose AC en utilisant la relation de Chasles : AC = A? + ?C

BK = BC + 2/3(AB+BC)
BK = BC - 2/3 AB
BK = BC + 2/3 BA

BK (1;2/3)

:s

en distribuant, tu aurais dû multiplier aussi BC par 2/3
d'où vient le changement de signe à la deuxième ligne ?
Celui de la troisième ligne seraitcorrect s'il n'y avait pas l'erreur à la deuxième
Il va falloir que je le fasse !!

BK = BC + 2/3(AB+BC)
BK = BC + 2/3 AB + 2/3 BC
BK = (1+(2/3))BC + 2/3 AB
BK = (1+(2/3))BC - 2/3 BA
continue.

je suis vraiment bête --' merci

BK = BC - 2/3 BA
BK = BC - 2/3 (BC+CA)
BK = BC - 2/3BC - 2/3CA
BK = 1/3BC - 2/3 CA

BK (1/3;2/3)

J'espère que c'est ça...

Non, c'est faux.
Pourquoi ne veux-tu pas continuer mon calcul ?
Citation
BK = BC + 2/3(AB+BC)
BK = BC + 2/3 AB + 2/3 BC
BK = (1+(2/3))BC + 2/3 AB
BK = (1+(2/3))BC - 2/3 BA
continue.Il te reste uniquement à calculer la parenthèse.

BK = BC + 2/3(AB+BC)
BK = BC + 2/3 AB + 2/3 BC
BK = (1+(2/3))BC + 2/3 AB
BK = (1+(2/3))BC - 2/3 BA

BK = BC - 2/3 BA

Non : le résultat final est faux.

Calcule la parenthèse !!

BK = 5/3 BC - 2/3 BA

Oui.
Quelles sont alors les coordonnées de K ?

donc K(5/3 ; 2/3)

Merci !

et pour la question 2. le calcul pour BK est bien juste ?

pardon K (5/3 ; - 2/3)

Citation
donc K(5/3 ; 2/3)Non : c'est (5/3; -2/3) car le second vecteur est BA, pas AB.
On verra la suite plus tard si tu ne trouves pas d'aide d'ici là.
Je dois me déconnecter.
Ton premier calcul est évidemment faux.
Les coordonnées de BK sont celles trouvées à la fin : (5/3 ; -2/3). Ce sont exactement les mêmes que les coordonnées du point K car B est l'origine du repère.
A+

oui je me suis aperçue après :s

Merci pour ton aide, je vais essayer d'avancer pour la suite A+