Arithmétique - Triplets pythagoriciens.

Bonjour à tous.
(x;y;z) est un triplet pythagoricien c'est à dire x²+y²=z² avec x,y,z et des entiers naturels non nuls.
Soit pgcd(x;y;z)=d.
1°-a)Montrer que x²+y²=z² est équivalent à a²+b²=c² avec (a;b;c) entiers premiers entre eux.
b)Montrer que a et b sont de parité différente.
2°-On suppose a=2k;montrer que $k2=[c−b2][b+c2]k^2=[\frac{c-b}{2}][\frac{b+c}{2}]$ .
3°-On pose $α=c+b2\alpha=\frac{c+b}{2}$ et $β=c−b2\beta=\frac{c-b}{2}$ ;
Montrer que $α\alpha$ et $β\beta$ sont premiers entre eux.

Réponses.
1°a)d est le pgcd de (x;y;z) donc x=ad ,y=bd et z=cd avec pgcd(a;b;c)=1.
x²+y²=z² est équivalent à d²a²+d²b²=d²c² et comme d n'est jamais nul
a²+b²=c² avec a,b,c premiers entre eux.
b)On suppose a et b pairs donc 2|a et 2|b.Le membre de droite c² devrait alors etre nécéssairement pair donc c pair.On aurait donc 2|c.Impossible car (a;b;c) sont premiers entre eux.
2°-a=2k .En utilisant a²=c²-b² on arrive au résultat.
3°-On calcule c et b en fonction de alpha et beta:
$2α=c−b2\alpha=c-b$ et $2β=c+b2\beta=c+b$ d'ou $c=α+βc=\alpha+\beta$
et $b=α−βb=\alpha-\beta$ .
Supposons que d' différent de 1 diviseur commun de alpha et beta.
d' admet alors un diviseur premier m différent de 1.
[m|d' et d'|alpha] et [m|d' et d'|beta] implique [m|alpha et m |beta] donc
$m∣α+βm|\alpha +\beta$ et $m∣α−βm|\alpha - \beta$ donc m|b et m|c.
$m∣α×βm|\alpha\times{\beta}$ donc m|k² et comme m est premier alors
m|k donc m|a.Impossible car (a;b;c) premiers entre eux.

Je vous prie de m'aider en corrigeant mon exercice.Il y'a une suite que je vous soumettrai la fois prochaine.
Merci.

Bonjour,
A première vue, ton raisonnement me semble correct.
Tu peux trouver des indications en cliquant sur ce lien :

Equation de Pythagore (triplets pythagoriciens)
Les notations y sont simplement différentes des tiennes.

Bonjour Mathtous.
Tout d'abord merci pour la correction et le lien mentionné dans votre message.
Comme application,on donne un nombre N de monticules(N nombre premier) contenant chacun 348 960 150 pavés de forme cubique.On construit un bloc sous forme de parallélipède dont la hauteur est égale
à la diagonale de sa base.On nous demande de déterminer N.

Si on désigne par k,L,l respectivement la hauteur,la longueur et la largeur du parallélipipède , on a $v=h×l×lv=h\times{l}\times{l}$ et comme la diagonale au carré est égale à L²+l² on en déduit
h²=L²+l².
Les pavés ,étant cubiques, ont meme arete.Sur chaque coté il y'en a un nombre entier d qui divise h ,L et l.Ce nombre d est le PGCD (h;L;l) d'ou
d²h'²=d²L'²+d²l'² et enfin h'²=L'²+l'².On a aussii V=348 960 150 N
donc $(d h^{'}) (d l^{'}) (d l^{'}) = 348960150 n$ ou bien
$d^{3}h'l'l'=349 960 150 n$ .
On peut aussi remplacer h',L',l' respectivement par h'=u²+v² ,L=u²-v² et
l=2uv (dans mon exercice ,on choisit a pair)d'ou
$2uv(u^4-v^4)=348 950 150 n$ ;
Après,j'avous ne pas savoir.J'ai déccomposé 348 960 150,utilisé Gauss et trouvé d=3,
résultat bizarre.
Merci pour votre aide et votre patience.

Pardon.
On construit le parallélipipède en utilisant les pavés des monticules.
$2d^3uv(u^4-v^4)=348960150n$ .

Quelques erreurs ou oublis à corriger (L', l' au lieu de L et l, d³ oublié dans l'avant dernier message.
Le résultat te semble bizarre car d est mal défini : c'est le PGCD de L,l,et h (obligé pour que L',l' et h' soient premiers entre eux), et pas le nombre de cubes sur chaque arête.

Tu as donc :
2d³uv(u²+v²)(u+v)(u-v)= 2. $3^5$ .5².7.11.373.N
Donc d³uv(u²+v²)(u+v)(u-v)= $3^5$ .5².7.11.373.N
La seule possibilité est en effet d = 3.
Il reste donc : uv(u²+v²)(u+v)(u-v)= 3².5².7.11.373.N
On remarque que 373 = 18² + 7² = u² + v² ce qui donne u=18 et v = 7
D'où : 18.7.373.25.11 = 3².5².7.11.373.N
Ce qui donne N = 2.

Bonjour Mathtous.
J'ai vainement cherché à écrire 373 sous la forme d'une somme de deux carrés.
Je vous remercie vivement.
Bonne semaine à vous.

Citation
On remarque que 373 = 18² + 7² = u² + v² ce qui donne u=18 et v = 7
Attention : tu dois démontrer que c'est la seule possibilité.
Qui peut s'écrire sous la forme d'une somme de deux carrés (non nuls !) ?
Il n'y a que 5², 373, et peu être N (que l'on ne connaît pas).
Tu dois démontrer que pour 5² = 25 , l'égalité n'est pas satisfaite (en calculant u et v).
De même pour N, car l'égalité prendrait alors une forme impossible.
Bonne recherche.

Bonjour Mathtous.
Merci pour votre rappel.
Comme vous l'avez souligné,seuls 5²,373 et N (premier) peuvent etre écrits sous la forme u²+v².
5²=4²+3² ,unique possibilité.On a donc u=4 et v=3.On aurait alors :
$n=d3(12)(7)(25)35.52.7.11.373=d3.2234.11.373n=\frac{d^3(12)(7)(25)}{3^5.5^2.7.11.373}=\frac{d^3.2^2}{3^4.11.373}$ : impossible car le numérateur est pair tandis que le dénominateur est impair.
Si N =u²+v² alors $d^3uv(u^2-v^2)=3^5.5^2.7.11$ .L'unique cube dans le 2eme membre est 27 donc l'égalité devient :
$uv(u-v)(u+v)=3^2.5^2.7.11$ .
Je suis désolé,je ne vois pas comment montrer que cette égalité n'a pas de sens.
Merci d'avance.

Une piste ?
alpha et beta sont premiers entre eux ;on peut facilement montrer que u²,v² l'étant
u et v le sont.On peut éliminer u et v différents de 2 ?? Donc u et v impairs ,alors
u-v pair.Le second membre est impair donc l'égalité est impossible.

Citation
impossible car le numérateur est pair tandis que le dénominateur est impair.Ce raisonnement me paraît douteux.
Dis plutôt que le résultat n'est pas entier : il suffit d'utiliser l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.

Pour la seconde question, u ou v est pair alors qu'à droite c'est impair.

Merci pour tout.

De rien.
A+