Arithmétique - Triplets pythagoriciens.


  • M

    Bonjour à tous.
    (x;y;z) est un triplet pythagoricien c'est à dire x²+y²=z² avec x,y,z et des entiers naturels non nuls.
    Soit pgcd(x;y;z)=d.
    1°-a)Montrer que x²+y²=z² est équivalent à a²+b²=c² avec (a;b;c) entiers premiers entre eux.
    b)Montrer que a et b sont de parité différente.
    2°-On suppose a=2k;montrer que k2=[c−b2][b+c2]k^2=[\frac{c-b}{2}][\frac{b+c}{2}]k2=[2cb][2b+c].
    3°-On pose α=c+b2\alpha=\frac{c+b}{2}α=2c+b et β=c−b2\beta=\frac{c-b}{2}β=2cb;
    Montrer que α\alphaα et β\betaβ sont premiers entre eux.

    Réponses.
    1°a)d est le pgcd de (x;y;z) donc x=ad ,y=bd et z=cd avec pgcd(a;b;c)=1.
    x²+y²=z² est équivalent à d²a²+d²b²=d²c² et comme d n'est jamais nul
    a²+b²=c² avec a,b,c premiers entre eux.
    b)On suppose a et b pairs donc 2|a et 2|b.Le membre de droite c² devrait alors etre nécéssairement pair donc c pair.On aurait donc 2|c.Impossible car (a;b;c) sont premiers entre eux.
    2°-a=2k .En utilisant a²=c²-b² on arrive au résultat.
    3°-On calcule c et b en fonction de alpha et beta:
    2α=c−b2\alpha=c-b2α=cb et 2β=c+b2\beta=c+b2β=c+b d'ou c=α+βc=\alpha+\betac=α+β
    et b=α−βb=\alpha-\betab=αβ.
    Supposons que d' différent de 1 diviseur commun de alpha et beta.
    d' admet alors un diviseur premier m différent de 1.
    [m|d' et d'|alpha] et [m|d' et d'|beta] implique [m|alpha et m |beta] donc
    m∣α+βm|\alpha +\betamα+β et m∣α−βm|\alpha - \betamαβ donc m|b et m|c.
    m∣α×βm|\alpha\times{\beta}mα×β donc m|k² et comme m est premier alors
    m|k donc m|a.Impossible car (a;b;c) premiers entre eux.

    Je vous prie de m'aider en corrigeant mon exercice.Il y'a une suite que je vous soumettrai la fois prochaine.
    Merci.


  • M

    Bonjour,
    A première vue, ton raisonnement me semble correct.
    Tu peux trouver des indications en cliquant sur ce lien :

    Equation de Pythagore (triplets pythagoriciens)
    Les notations y sont simplement différentes des tiennes.


  • M

    Bonjour Mathtous.
    Tout d'abord merci pour la correction et le lien mentionné dans votre message.
    Comme application,on donne un nombre N de monticules(N nombre premier) contenant chacun 348 960 150 pavés de forme cubique.On construit un bloc sous forme de parallélipède dont la hauteur est égale
    à la diagonale de sa base.On nous demande de déterminer N.

    Si on désigne par k,L,l respectivement la hauteur,la longueur et la largeur du parallélipipède , on a v=h×l×lv=h\times{l}\times{l}v=h×l×l et comme la diagonale au carré est égale à L²+l² on en déduit
    h²=L²+l².
    Les pavés ,étant cubiques, ont meme arete.Sur chaque coté il y'en a un nombre entier d qui divise h ,L et l.Ce nombre d est le PGCD (h;L;l) d'ou
    d²h'²=d²L'²+d²l'² et enfin h'²=L'²+l'².On a aussii V=348 960 150 N
    donc (dh′)(dl′)(dl′)=348960150n(dh')(dl')(dl')=348 960 150 n(dh)(dl)(dl)=348960150n ou bien
    d3h′l′l′=349960150nd^{3}h'l'l'=349 960 150 nd3hll=349960150n.
    On peut aussi remplacer h',L',l' respectivement par h'=u²+v² ,L=u²-v² et
    l=2uv (dans mon exercice ,on choisit a pair)d'ou
    2uv(u4−v4)=348950150n2uv(u^4-v^4)=348 950 150 n2uv(u4v4)=348950150n;
    Après,j'avous ne pas savoir.J'ai déccomposé 348 960 150,utilisé Gauss et trouvé d=3,
    résultat bizarre.
    Merci pour votre aide et votre patience.


  • M

    Pardon.
    On construit le parallélipipède en utilisant les pavés des monticules.
    2d3uv(u4−v4)=348960150n2d^3uv(u^4-v^4)=348960150n2d3uv(u4v4)=348960150n.


  • M

    Quelques erreurs ou oublis à corriger (L', l' au lieu de L et l, d³ oublié dans l'avant dernier message.
    Le résultat te semble bizarre car d est mal défini : c'est le PGCD de L,l,et h (obligé pour que L',l' et h' soient premiers entre eux), et pas le nombre de cubes sur chaque arête.

    Tu as donc :
    2d³uv(u²+v²)(u+v)(u-v)= 2.353^535.5².7.11.373.N
    Donc d³uv(u²+v²)(u+v)(u-v)= 353^535.5².7.11.373.N
    La seule possibilité est en effet d = 3.
    Il reste donc : uv(u²+v²)(u+v)(u-v)= 3².5².7.11.373.N
    On remarque que 373 = 18² + 7² = u² + v² ce qui donne u=18 et v = 7
    D'où : 18.7.373.25.11 = 3².5².7.11.373.N
    Ce qui donne N = 2.


  • M

    Bonjour Mathtous.
    J'ai vainement cherché à écrire 373 sous la forme d'une somme de deux carrés.
    Je vous remercie vivement.
    Bonne semaine à vous.


  • M

    Citation
    On remarque que 373 = 18² + 7² = u² + v² ce qui donne u=18 et v = 7
    Attention : tu dois démontrer que c'est la seule possibilité.
    Qui peut s'écrire sous la forme d'une somme de deux carrés (non nuls !) ?
    Il n'y a que 5², 373, et peu être N (que l'on ne connaît pas).
    Tu dois démontrer que pour 5² = 25 , l'égalité n'est pas satisfaite (en calculant u et v).
    De même pour N, car l'égalité prendrait alors une forme impossible.
    Bonne recherche.


  • M

    Bonjour Mathtous.
    Merci pour votre rappel.
    Comme vous l'avez souligné,seuls 5²,373 et N (premier) peuvent etre écrits sous la forme u²+v².
    5²=4²+3² ,unique possibilité.On a donc u=4 et v=3.On aurait alors :
    n=d3(12)(7)(25)35.52.7.11.373=d3.2234.11.373n=\frac{d^3(12)(7)(25)}{3^5.5^2.7.11.373}=\frac{d^3.2^2}{3^4.11.373}n=35.52.7.11.373d3(12)(7)(25)=34.11.373d3.22: impossible car le numérateur est pair tandis que le dénominateur est impair.
    Si N =u²+v² alors d3uv(u2−v2)=35.52.7.11d^3uv(u^2-v^2)=3^5.5^2.7.11d3uv(u2v2)=35.52.7.11.L'unique cube dans le 2eme membre est 27 donc l'égalité devient :
    uv(u−v)(u+v)=32.52.7.11uv(u-v)(u+v)=3^2.5^2.7.11uv(uv)(u+v)=32.52.7.11.
    Je suis désolé,je ne vois pas comment montrer que cette égalité n'a pas de sens.
    Merci d'avance.

    Une piste ?
    alpha et beta sont premiers entre eux ;on peut facilement montrer que u²,v² l'étant
    u et v le sont.On peut éliminer u et v différents de 2 ?? Donc u et v impairs ,alors
    u-v pair.Le second membre est impair donc l'égalité est impossible.


  • M

    Citation
    impossible car le numérateur est pair tandis que le dénominateur est impair.Ce raisonnement me paraît douteux.
    Dis plutôt que le résultat n'est pas entier : il suffit d'utiliser l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.

    Pour la seconde question, u ou v est pair alors qu'à droite c'est impair.


  • M

    Merci pour tout.


  • M

    De rien.
    A+


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