DM Produit maximal 1S



  • Bonjour,
    ABC est un triangle rectangle en A tel que :
    AB = 4 et AC = 3 en cm
    I : milieu de [AB]
    M : un point de [AC]
    N : un point de [BC]
    Le triangle CMN a pour aire 2cm²

    1/ On pose CM=x et CN=y. Montrer que y=5/x
    J'ai beau essayer des tas de choses, il manque à chaque fois un donnée dans l'énoncé pour que ça marche 😞
    2/ Déterminer les positions des points M et N pour que l'aire de IMN soit minimale.

    Merci.



  • On dit bonjour,
    Donc je le dis.
    Pour commencer, fais la figure, trace la hauteur issue de N dans le triangle MNC.
    Calcule BC puis h, la hauteur ci-dessus.



  • Mille bonjours et mille merci de répondre 🙂
    J'avais déjà calculé BC. BC=5cm par Pythagore
    J'ai essayé aussi pleins de fois de calculer h, mais je ne trouve pas comment.



  • Avec le théorème de Thalès, car la hauteur est perpendiculaire à (AC) donc parallèle à (AB).



  • On définit le point P appartenant à AC étant le pied de la hauteur.
    PN=h ( x est déjà pris ^^ )
    Thalès : CP/CA=CN/CB=PN/AB
    AN: x/3=y/5=h/4. Avec le produit en croix on trouve y=5x/3 et non 5/x 😕



  • Que vient faire AN ?
    CP ne vaut pas x
    Utilise simplement CN/CB=PN/AB



  • Je voulais dire application numérique comme en physique, je comprend maintenant pourquoi on n'utilise ça qu'en physique.
    Oui je m'excuse pour l'erreur.
    Le produit en croix me donne ici y=5h/4



  • Oui, mais exprime plutôt h en fonction de y.
    Puis, calcule l'aire du triangle CMN : sachant qu'elle vaut 2, cela te donnera ta relation entre y et x.



  • h=4y/5 par Thalès.
    Aire de CMN=((4y/5)x):2= 2. ---> (4yx)/10=2
    4yx=20. ( Produit en croix ).
    yx=5
    y=5/x.
    Est-ce le bon cheminement ? Merci beaucoup.



  • Oui,
    c'est correct.



  • Ensuite pour la seconde question je ne sais pas comment faire. J'ai essayé d'en déduire x ou y mais en vain. Pourriez-vous me donner une piste?



  • Calcule l'aire de IMN par différences d'aires.



  • J'ai aire de AMI = -x+3
    Aire de ABC = 6
    Aire de CMN = 2
    Aire de NIB = 1,5
    Aire de IMN = 6 - ( 2-x+3+1,5)= x-0,5

    Donc f(x) la fonction aire de IMN = x-0,5.

    Est-ce juste ? Je dois dériver ensuite?



  • Citation
    Aire de ABC = 6
    Aire de CMN = 2
    Oui, mais le reste est faux.
    Détaille comment tu trouves l'aire de AMI.



  • Aire de AMI = (AIxAM):2
    AI = 2 et AM = 3-x
    Donc (2(3-x)):2=3-x



  • C'est juste (désolé).
    Détaille maintenant le calcul de l'aire de NIB : il te faut une hauteur.



  • Oui alors justement je l'ai inventée cette hauteur h'
    Aire de IBN =(2h'):2=h'
    Donc Thales ici donne : bn/bc=bi/ba=ni/ca
    5-y/5=1/2=h'/3
    Donc avec le produit en croix : h'=3/2
    Aire de IBN=3/2?



  • Non, car la hauteur n'est pas (NI).
    Fais un dessin.
    Il serait d'ailleurs surprenant que l'aire de NIB ne dépende pas de y.



  • Ça fait longtemps que j'ai mon dessin. Comme base on prend IB=2 ou NB=5-y ? Et il faut refaire Thales?



  • Comme base, choisis IB
    La hauteur est donc la droite issue de N et perpendiculaire (en H par exemple) à (AB). Peu importe qu'elle tombe en dehors de [IB].
    Calcule NH avec Thalès.



  • Ok donc BN/BC=BH/BA=NH/CA
    5-y/5=BH/4=NH/3
    avec le produit en croix NH = (3(5-y)):5 = (15-3y):5
    aire de IBN = (2 ((15-3y):5)):2 = (30-6y):10 = -3/5y + 3.



  • Ça me semble juste.
    Maintenant, remplace y par 5/x, et calcule l'aire de MIN.



  • aire de IBN = -3/5y +3 = (-15/5x)+3 = -3/x + 3
    Aire de ABC = 6
    CMN= 2
    AMI = 3-x

    Aire de MIN = 6 - ( 2+3-x-(3/x) +3) = (-2x+x²+3):x
    Est-ce juste ? Ensuite, je dérive et étudie le signe ?



  • Oui, le signe de la dérivée afin d'étudier les variations.
    N'oublie pas que la fonction n'est pas définie en 0. En fait, elle est définie sur ]0 ; +3].



  • f(x) = aire de MIN
    f(x) = (-2x+x²+3):x
    f'(x)=(x²-3):x²
    delta = 12
    x = √3
    Donc valeur de x pour que l'aire soit minimale est √3

    Est-ce juste?



  • f(x) = aire de MIN
    f(x) = (-2x+x²+3):x
    f'(x)=(x²-3):x²
    delta = 12
    x = √3
    Donc valeur de x pour que l'aire soit minimale est √3

    Est-ce juste?



  • La réponse est juste mais doit s'accompagner d'une explication : il faut indiquer les variations de f, car si elles vont dans le "mauvais" sens, ton minimum pourrait être un maximum. Je précise : les valeurs annulant la dérivée correspondent soit à des maxima,soit à des minima (locaux).



  • Oui oui c'est ce que j'ai fais, en precisant que le signe depend de a puisqu'il s'agit d'une fonction du 2nd degré.
    Merci beaucoup mathtous 🙂



  • De rien.



  • f(x) = aire de MIN
    f(x) = (-2x+x²+3):x
    f'(x)=(x²-3):x²

    Il me semble qu'il y a une erreur.

    Dérivée de x² -> 2x
    Dérivée de 1/x -> -1/x²
    (-2+2x)*(-1/x²) = (2-2x)/x²


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