Dérivée et sens de variation d'une fonction


  • M

    Bonjour à tous,
    J'ai un DM à fournir prochainement et je suis complétement bloquée (Je rame totalement). 😡 Voila l'énoncé (au cas où c'est l'ex 78 p 123 de math'x 1ereS, juste le B):
    ABCD est un carré de coté 4 cm. Pour tout point M de [AB], on nomme I le point d'intersection de [DM] et [AC], x la longueur AM, et A(x) l'aire totale des deux triangles AMI et DIC.
    B.Etude de la fonction A

    1. Calcul A(0) et A(4)
    2. Soit h la hauteur issue de I dans le triangle AMI.
      Montrer que h÷(4-h) = x÷4 puis que h=4x÷(x+4)
    3. Montrer que A(x)=(2(x²+16))÷(x+4) sur [0;4]
    4. Etudier le sens de variation de A et en déduire la position de M assurant une aire totale minimale.
      Merci d'vance, ça serai génial si quelqu'un pouvait m'aider à m'en sortir.
      :frowning2: 😕

  • mtschoon

    Bonjour,

    Tu n'a rien fait sur cette partie ?

    Piste pour démarrer,

    Calcul de A(0) :

    Pour x=0 , M est en A et I est en A

    aire(ami)=aire(aaa)=0aire(ami)=aire(aaa)=0aire(ami)=aire(aaa)=0

    aire(dic)=aire(dac)=4×42=8aire(dic)=aire(dac)=\frac{4\times 4}{2}=8aire(dic)=aire(dac)=24×4=8

    Donc a(0)=0+8=8a(0)=0+8=8a(0)=0+8=8

    Tu traites de la même façon le cas x=4 .

    Donne nous tes résultats et nous vérifierons.


  • M

    Moi je m'étais dit que A(x)=aire(AMI)+aire(DCI)=(x*h)÷2 + (4×(4-h))÷2
    A(0)=(0×h)÷2 + (4(4-h))÷2
    =(16-4h)÷2
    =8-2h

    A(4)=(4×h)÷2 + (4(4-h))÷2
    =4h÷2 + (16-4h)÷2
    =2h+8-2h
    =8
    Est-ce totalement faux?


  • mtschoon

    Pour A(0) et A(4) , si tu veux calculer avec h , il faut remplacer h par la valeur.

    Pour A(0) , h=?
    Pour A(4) , h=?


  • M

    C'est bon j'ai compris et je trouve bien A(0)=8 et pour A(4) je trouve également 8. Ensuite j'ai fait le 2 avec thalès j'ai réussi à monter que h÷(4-h)=x÷4 mais je bloque après sur h=4x÷(x+4).


  • mtschoon

    Piste de calcul ,

    h4−h=x4\frac{h}{4-h}=\frac{x}{4}4hh=4x

    Produits en croix :

    4h=x(4−h)4h=x(4-h)4h=x(4h)

    Développement :

    4h=4x−hx4h=4x-hx4h=4xhx

    Transposition :

    4h+hx=4x4h+hx=4x4h+hx=4x

    Il te reste à mettre h en facteur , puis à diviser par (4+x)


  • M

    Merci beaucoup, c'est bon j'ai réussi!!! et bonne soirée! 😁


  • mtschoon

    De rien !

    A+


  • L

    Bonsoir, j'ai vu que tu avais réussi la partie C . j'ai vraiment beaucoup de mal. Tu veux bien me donner quelques pistes ou m'expliquer la demarche a suivre. Je suis vraiment perdu.


  • mtschoon

    Bonjour,

    Je regarde la 3)

    Piste,

    Soit H le projeté de M sur (AB)
    Soit H' le projeté de M sur (DC)

    aire(ami)=am×ih2=x×h2aire(ami)=\frac{am\times ih}{2}=\frac{x\times h}{2}aire(ami)=2am×ih=2x×h

    Tu remplaces h par l'expression trouvée précédemment.

    aire(dic)=dc×ih′2aire(dic)=\frac{dc\times ih'}{2}aire(dic)=2dc×ih

    IH'=4-IH=4-h

    aire(dic)=4×(4−h)2aire(dic)=\frac{4\times (4-h)}{2}aire(dic)=24×(4h)

    Tu remplaces h par l'expression trouvée précédemment.

    a(x)=aire(ami)+aire(dic)a(x)=aire(ami)+aire(dic)a(x)=aire(ami)+aire(dic)

    En faisant la somme, tu trouveras l'expression souhaitée.


  • A

    Bonjour, je n'ai pas compris comment vous êtes parvenus à justifier l'égalité h/(4-h)=x/4 (question B.2) à l'aide du théorème de thalès, pouriez-vous m'expliquer ? Merci d'avance


  • mtschoon

    Bonjour,

    Soit H le projeté de I sur (AB) et soit H' le projeté de I sur (DC)

    Les triangles AIM et CID sont semblables ( AB)//(DC)

    Leurs côtés associés sont dans le même rapport que leurs hauteurs.

    amdc=x4\frac{am}{dc}=\frac{x}{4}dcam=4x

    IH=4 et IH'=4-h

    ihih′=44−h\frac{ih}{ih'}=\frac{4}{4-h}ihih=4h4

    amdc=ihih′\frac{am}{dc}=\frac{ih}{ih'}dcam=ihih

    d'où l'égalité demandée.


  • A

    Merci beaucoup ! 😄


  • mtschoon

    De rien !


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