Dérivée et sens de variation d'une fonction

Bonjour à tous,
J'ai un DM à fournir prochainement et je suis complétement bloquée (Je rame totalement). Voila l'énoncé (au cas où c'est l'ex 78 p 123 de math'x 1ereS, juste le B):
ABCD est un carré de coté 4 cm. Pour tout point M de [AB], on nomme I le point d'intersection de [DM] et [AC], x la longueur AM, et A(x) l'aire totale des deux triangles AMI et DIC.
B.Etude de la fonction A

Calcul A(0) et A(4)
Soit h la hauteur issue de I dans le triangle AMI.
Montrer que h÷(4-h) = x÷4 puis que h=4x÷(x+4)
Montrer que A(x)=(2(x²+16))÷(x+4) sur [0;4]
Etudier le sens de variation de A et en déduire la position de M assurant une aire totale minimale.
Merci d'vance, ça serai génial si quelqu'un pouvait m'aider à m'en sortir.
:frowning2:

Bonjour,

Tu n'a rien fait sur cette partie ?

Piste pour démarrer,

Calcul de A(0) :

Pour x=0 , M est en A et I est en A

$a i r e (a m i) = a i r e (a a a) = 0$

$aire(dic)=aire(dac)=4×42=8aire(dic)=aire(dac)=\frac{4\times 4}{2}=8$

Donc $a (0) = 0 + 8 = 8$

Tu traites de la même façon le cas x=4 .

Donne nous tes résultats et nous vérifierons.

Moi je m'étais dit que A(x)=aire(AMI)+aire(DCI)=(x*h)÷2 + (4×(4-h))÷2
A(0)=(0×h)÷2 + (4(4-h))÷2
=(16-4h)÷2
=8-2h

A(4)=(4×h)÷2 + (4(4-h))÷2
=4h÷2 + (16-4h)÷2
=2h+8-2h
=8
Est-ce totalement faux?

Pour A(0) et A(4) , si tu veux calculer avec h , il faut remplacer h par la valeur.

Pour A(0) , h=?
Pour A(4) , h=?

C'est bon j'ai compris et je trouve bien A(0)=8 et pour A(4) je trouve également 8. Ensuite j'ai fait le 2 avec thalès j'ai réussi à monter que h÷(4-h)=x÷4 mais je bloque après sur h=4x÷(x+4).

Piste de calcul ,

$h4−h=x4\frac{h}{4-h}=\frac{x}{4}$

Produits en croix :

$4 h = x (4 - h)$

Développement :

$4 h = 4 x - h x$

Transposition :

$4 h + h x = 4 x$

Il te reste à mettre h en facteur , puis à diviser par (4+x)

Merci beaucoup, c'est bon j'ai réussi!!! et bonne soirée!

De rien !

A+

Bonsoir, j'ai vu que tu avais réussi la partie C . j'ai vraiment beaucoup de mal. Tu veux bien me donner quelques pistes ou m'expliquer la demarche a suivre. Je suis vraiment perdu.

Bonjour,

Je regarde la 3)

Piste,

Soit H le projeté de M sur (AB)
Soit H' le projeté de M sur (DC)

$aire(ami)=am×ih2=x×h2aire(ami)=\frac{am\times ih}{2}=\frac{x\times h}{2}$

Tu remplaces h par l'expression trouvée précédemment.

$aire(dic)=dc×ih′2aire(dic)=\frac{dc\times ih'}{2}$

IH'=4-IH=4-h

$aire(dic)=4×(4−h)2aire(dic)=\frac{4\times (4-h)}{2}$

Tu remplaces h par l'expression trouvée précédemment.

$a (x) = a i r e (a m i) + a i r e (d i c)$

En faisant la somme, tu trouveras l'expression souhaitée.

Bonjour, je n'ai pas compris comment vous êtes parvenus à justifier l'égalité h/(4-h)=x/4 (question B.2) à l'aide du théorème de thalès, pouriez-vous m'expliquer ? Merci d'avance

Bonjour,

Soit H le projeté de I sur (AB) et soit H' le projeté de I sur (DC)

Les triangles AIM et CID sont semblables ( AB)//(DC)

Leurs côtés associés sont dans le même rapport que leurs hauteurs.

$amdc=x4\frac{am}{dc}=\frac{x}{4}$

IH=4 et IH'=4-h

$ihih′=44−h\frac{ih}{ih'}=\frac{4}{4-h}$

$amdc=ihih′\frac{am}{dc}=\frac{ih}{ih'}$

d'où l'égalité demandée.

Merci beaucoup !

De rien !