PGCD et congruence

Bonjour à tou(tes)s,
voici l'énoncé d'un exercice de dm de spé sur lequel je bloque:

"Pour tout entier naturel non nul n, on note D le PGCD des entiers n³+n et 2n+1.
A-Conjectures
1)Recopier le tableau suivant, et le compléter à l'aide de la calculatrice
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
D
2)Conjecturer les valeurs possibles de D et proposer, sous forme de congruence modulo 5, une caractérisation des entiers n pour lesquels n³+n et 2n+1 ne sont pas premiers entre eux.
B-Démonstrations
1)Soit d un diviseur commun à n³+n et 2n+1.
a.Montrer que, puisque d divise 2n+1, d et n sont premiers entre eux.
b.En déduire que d divise n²+1.
c.Calculer 4(n²+1)-(2n-1)(2n+1).
d.Montrer que D ∈ {1;5}.
2)a.Soit n=5k+2 où k est un entier relatif. Montrer que 5 divise n²+1 et 2n+1. En déduire que D=5.
b.Réciproquement, on suppose que D=5; montrer qu'il existe un entier relatif k tel que n=5k+2."

Autant je pense avoir réussi la partie A, mais je bloque à la partie B.

A-1)
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
D 1 5 1 1 1 1 5 1 1 1 1 5 1
2) On conjecture à l'aide du tableau, que D prend les valeurs 1 et 5.
n³+n et 2n+1 ne sont pas premiers entre eux ssi D(n³+n;2n+1)≠1
Or, dans le tableau, les entiers n associés à un PGCD différent de 1 sont 2,7 et 12,
qui sont 3 nombres dont le reste dans la division euclidienne par 5 est égal à 2
Donc si n³+n et 2n+1 ne sont pas premiers entre eux alors n≡2(5)

Comment répondre à la question 1)a. de la partie B pour pouvoir continuer l'exercice ?

Merci d'avance !

Bonjour,
Pour B1a :
si a divise n, donc il divise 2n.
a divise 2n+1
Divisant 2n et 2n+1, il divise ...

d divise -1 ?

Ou tout simplement 1.
Je résume : si d divise 2n+1 et n , alors il vaut 1. d et n sont donc premiers entre eux.
Tu sais faire le b) ?

d divise n et d divise 1
donc par combinaison linéaire d divise n×a+1×b
On prend a=n et b=1
Ce qui donne d divise n²+1

Citation
d divise n et d divise 1D'où tiens-tu cela ?
d est un diviseur commun à n³+n et 2n+1.
Dans la question précédente, on n'a pas utilisé le fait que d divise n³+n.
IL ne s'agit pas du même d dans les deux questions. J'aurais dû utiliser une autre lettre : je modifie mon message en conséquence.
On sait seulement que d et n sont premiers entre eux.
On a : n³+n = n(n²+1)
Si d divise n³+n= n(n²+1) et 2n+1, il est premier avec n, donc ...

En fait dans l'énoncé c'est n³+n

Oui, pardon. Mes calculs s'appliquent évidemment à n³ +n, pas à n³ +1 !!

Si a divise bc et si a est premier avec b alors a divise c
Donc d divise n²+1

Oui.
Pour les questions c et d, pas de problème ?

Pour la c. je trouve 5.
Pour la d je n'ai pas de propriétés pour le montrer

Je vois bien qu'il faut se servir de la réponse du c. , mais je ne sais pas comment

4(n²+1)-(2n-1)(2n+1) = 5
Or, tout diviseur commun à n³+n et 2n+1 divise n²+1(question b) (et bien entendu 2n+1)
C'est en particulier vrai pour le PGCD D.
D divise donc à la fois n²+1 et 2n+1, donc il divise u(n²+1) + v(2n+1), c'est-à-dire ici 4(n²+1)-(2n-1)(2n+1) = 5.
5 étant premier, D ne peut donc valoir que 1 ou 5.

Merci pour ta réponse !
Pour la 2.a) :
n=5k+2
donc n²=25k²+20k+4
donc n²+1=25k²+20k+5=5(5k²+4k+1)
donc 5 divise n²+1
2n+1=10k+5=5(2k+1)
donc 5 divise 2n+1

C'est correct ?

En déduire que D=5 :
5 divise n²+1 et 2n+1 et D divise n²+1 et 2n+1
donc 5 divise D
Or D=1 ou D=5
5 ne divise pas 1 donc D=5

Je suis moins sûr de ça

Up

Citation
Pour la 2.a) :
n=5k+2
donc n²=25k²+20k+4
donc n²+1=25k²+20k+5=5(5k²+4k+1)
donc 5 divise n²+1
2n+1=10k+5=5(2k+1)
donc 5 divise 2n+1
C'est correct ?Parfait

Citation
5 divise n²+1 et 2n+1 et D divise n²+1 et 2n+1
donc 5 divise DC'est juste.

Citation
Or D=1 ou D=5
5 ne divise pas 1 donc D=5C'est moins clair.
D = 1 ou 5 et est multiple de 5. Donc D = 5.
Que 5 ne divise pas 1 est vrai mais n'apporte rien.

Citation
Upben oui, mais pas toujours là !

Merci ! (et désolé pour mon impatience)
La dernière question est une question ouverte.
Par quoi dois-je commencer ?

La 2)b) ?
On prend cette fois l'hypothèse que D = 5.
Une piste :
D =5 divise 2n+1, donc 2n+1 ≡ 0 modulo 5
Donc 2n ≡ 4 modulo 5
Donc 2n-4 ≡ 0 modulo 5.
Je te laisse continuer.

2n-4≡0(5)
donc D divise 2n-4 si il existe un réel k tel que 2n-4=D×k
Or D=5 donc 2n-4=5k
2n=5k+4
n=5k+2

Citation
2n=5k+4
n=5k+2Ce passage est faux rien ne prouve que le premier k soit pair.

On a : 2n-4≡0(5)
Donc 2(n-2) ≡ 0 [5]
5 est donc un diviseur de 2(n-2).
Or, 5 est premier avec 2, donc ...

...donc 5 divise n-2
5 divise n-2 ssi n-2=5k
soit n=5k+2

C'est ça.
C'est le seconde fois que tu utilises la propriété de Gauss dans cet exercice : c'est dire son importance.

On a pas pas parlé de la partie A. Il n'y a pas de problème ?

Rien vu de choquant. Il s'agit de conjecturer : tu conjectures ce que tu peux.

D'accord. Merci beaucoup pour le temps passé à m'aider !
Bonne journée

De rien.
A+