Calcul de dérivée, équation de tangente et tableau de variation

[Rakuen]

Bonjour je bloque à la question 1).

Soit la fonction f définie sur [0;+∞[ par f(x) = (2x√x)/(1+x)

1. Justifier l'intervalle d'étude de la fonction f.

2. Calculer la dérivée de la fonction g définie par g(x) = 2x√x. En déduire celle de la fonction f et démontrer que f'(x) = x²+3x/√x(1+x)².

3. Donner l'équation de la tangente au point d'abscisse 1.

4. Déterminer le tableau de variation de la fonction f sur [0;+∞[.

[mtschoon]

Bonjour,

Tu n'as rien trouvé ?

Piste pour démarrer :

1. Nécessairement :

à cause la da racine carrée : x ≥ 0
à cause du dénominateur : : x +1 ≠ 0 <=> x≠ -1

Condition générale : x ≥ 0 donc .............

2. Pour la dérivée de 2x√x , utilise la dérivée d'un produit.

après calcul et simplification , tu dois trouver : (2x√x)'=3√x

[Rakuen]

Je tente le coup mais je suis sur de rien:

1. f(x) = 0 ≤ (2x√x)/(1+x)

[mtschoon]

Pour la question 1) , si tu as compris ma réponse , tu n'as rien à faire : il te suffit de conclure que l'intervalle d'étude est [0,+∞[

[Rakuen]

2x√x → 2x(1/2√x). Après j'applique la formule (1/v)' ?

[mtschoon]

Utilise la dérivée d'un produit.

U(x)=2x et V(x)=√x

La dérivée de U(x)V(x) est U'(x)V(x)+U(x)V'(x)

[Rakuen]

Y'a le a qui me pose problème:

= 2x'(x)√x+2x(x)√x'(x)

= [2x(a+h)√x(a+h)-2x(a)√x(a)]/h

= [2x(a+h)√x(a+h)-2x(a)√x(a+h)+2x(a)√x(a+h)-2x(a)√x(a)]/h

= [2x(a+h)-2x(a)√x(a+h)+2x(a)√x(a+h)-√x(a)]/h

= [2x(a+h)-2x(a)]/h √x(a+h)+2x(a)[x(a+h)-√x(a)]/h

2x est dérivable en a, on sait que lim [2x(a+h)-2x(a)]/h = 2x'(a)

√x est dérivable en a, on sait que lim [√x(a+h-√x(a)]/h = √x(a)

[mtschoon]

Tu t'égares !

Utilise les dérivées usuelles

$u(x)=2x$

donc $u^{\prime }(x)=2$

$v(x)=\sqrt{x}$

donc $v^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ensuite , relis ma précédente réponse.