Arithmétique - Congruences.
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Mmathieu42 dernière édition par
Bonsoir.
x est un entier naturel non nul.
Déterminer x tel que 4x=3[7]4^x=3[7]4x=3[7] et en déduire que
189x+2−113x−1=0[7]18^{9x+2} -11^{3x-1}=0[7]189x+2−113x−1=0[7].J'ai fait un tableau des congruences modulo 7 et 4x=3[7] si et seulement si x=7k+6.
En remplaçant x,on obtient :
1863k+56−1127k+1718^{63k+56}-11^{27k+17}1863k+56−1127k+17. Le petit théorème de Fermat donne car 7 est premier et 18 ainsi que 11 ne divisant pas 7 186=1[7]et116=1[7]18^6=1[7] et 11^6=1[7]186=1[7]et116=1[7]
donc 1860k=1[7]et1124k=1[7]18^{60k}=1[7] et 11^{24k}=1[7]1860k=1[7]et1124k=1[7] et 183k=1[7]et113k=1[7]18^{3k}=1[7] et 11^{3k}=1[7]183k=1[7]et113k=1[7] on a donc 1863k−1127k=0[7]18^{63k}-11^{27k}=0[7]1863k−1127k=0[7].
J'ai ensuite calculé 1856=2[7]18^{56}=2[7]1856=2[7] et 1117=2[7]11^{17}=2[7]1117=2[7].
Cela me parait relativement long.
Pourriez-vous ,s'il vous plait, me donner une indication pour plus de rapidité.Je ne connais pas le théorème d'Euler .Merci
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Mmathtous dernière édition par
Bonjour,
Sauf erreur de ma part, il n'existe pas d'entier x tel que 4x4^x4x ≡ 3 [7]
Ne serait-ce pas plutôt 4x (et pas 4x4^x4x) ?
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Mmathieu42 dernière édition par
Bonjour Mathtous.
Je suis plus que confus et je m'en veux de vous avoir dérangé.
Veuillez m'excuser....
C'est bien 4x=3[7].x n'est pas en exposant.
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Mmathtous dernière édition par
Dans ce cas, les calculs effectués à la suite me semblent corrects.
Toutefois, on peut effectivement les simplifier légèrement.
Quelque chose m'ennuie malgré tout : l'énoncé demande :
Citation
en déduire que ...Alors que l'égalité demandée est vraie pour toutes les valeurs (entières positives) de x, et pas seulement pour x ≡ 6[7].Pour simplifier, tu peux déjà remplacer 18 par 4 et 11 par 4 car 18 ≡ 4 [7] et 11 ≡ 4 [7].
P.S. écris "≡" , pas "=".
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Mmathieu42 dernière édition par
Bonjour .
Votre remarque est notée.
Je vous remercie.
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Mmathtous dernière édition par
De rien
Bonne journée.