Arithmétique - Congruences.


  • M

    Bonsoir.
    x est un entier naturel non nul.
    Déterminer x tel que 4x=3[7]4^x=3[7]4x=3[7] et en déduire que
    189x+2−113x−1=0[7]18^{9x+2} -11^{3x-1}=0[7]189x+2113x1=0[7].

    J'ai fait un tableau des congruences modulo 7 et 4x=3[7] si et seulement si x=7k+6.
    En remplaçant x,on obtient :
    1863k+56−1127k+1718^{63k+56}-11^{27k+17}1863k+561127k+17. Le petit théorème de Fermat donne car 7 est premier et 18 ainsi que 11 ne divisant pas 7 186=1[7]et116=1[7]18^6=1[7] et 11^6=1[7]186=1[7]et116=1[7]
    donc 1860k=1[7]et1124k=1[7]18^{60k}=1[7] et 11^{24k}=1[7]1860k=1[7]et1124k=1[7] et 183k=1[7]et113k=1[7]18^{3k}=1[7] et 11^{3k}=1[7]183k=1[7]et113k=1[7] on a donc 1863k−1127k=0[7]18^{63k}-11^{27k}=0[7]1863k1127k=0[7].
    J'ai ensuite calculé 1856=2[7]18^{56}=2[7]1856=2[7] et 1117=2[7]11^{17}=2[7]1117=2[7].
    Cela me parait relativement long.
    Pourriez-vous ,s'il vous plait, me donner une indication pour plus de rapidité.Je ne connais pas le théorème d'Euler .Merci


  • M

    Bonjour,
    Sauf erreur de ma part, il n'existe pas d'entier x tel que 4x4^x4x ≡ 3 [7]
    Ne serait-ce pas plutôt 4x (et pas 4x4^x4x) ?


  • M

    Bonjour Mathtous.
    Je suis plus que confus et je m'en veux de vous avoir dérangé.
    Veuillez m'excuser....
    C'est bien 4x=3[7].x n'est pas en exposant.


  • M

    Dans ce cas, les calculs effectués à la suite me semblent corrects.
    Toutefois, on peut effectivement les simplifier légèrement.
    Quelque chose m'ennuie malgré tout : l'énoncé demande :
    Citation
    en déduire que ...Alors que l'égalité demandée est vraie pour toutes les valeurs (entières positives) de x, et pas seulement pour x ≡ 6[7].

    Pour simplifier, tu peux déjà remplacer 18 par 4 et 11 par 4 car 18 ≡ 4 [7] et 11 ≡ 4 [7].

    P.S. écris "≡" , pas "=".


  • M

    Bonjour .
    Votre remarque est notée.
    Je vous remercie.


  • M

    De rien
    Bonne journée.


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