Fonctions carrés et inverses

Bonjour j'ai un exercice à faire mais je bloque sur certaines questions pourriez vous m'aider svp et vérifier que mes autres questions sont correctes ?

Justifier que, pour tout x<0, on a 1/x < x²

x est négatif donc 1/x sera aussi négatif puisqu'on divise un nombre positif par un nombre négatif. J'en déduis donc que 1/x est inférieur a x² puisque un carré est toujours positif.
Conclusion : 1/x < 0 < x²

Conjecturer à l'aide la calculatrice la comparaison de x² et 1/x lorsque x est un réel strictement positif ?

A l'aide la calculatrice je remarque que lorsque x est compris entre 0 et 1:
1/x > x²
Lorsque x=1
x²= $1x\frac{1}{x}$
Lorsque x>1
$1x\frac{1}{x}$ <x²

On note f(x)=x² et g(x)=1/x

a)comparer en utilisant les variations de f sur l'intervalle ]0;1] f(x) et f(1) pour tout x∈]0;1]

f est une foction carré, elle est donc croissante sur ]0;+infini[, par conséquent pour tout x∈]0;1] f(x)< f(1)

Ma justification est elle suffisante ?

De manière analogue comparer g(x) et g(1) pour tout x∈]0;1]

g est une fonction inverse , elle est donc décroissante sur ]0;+infini[, par conséquent pour tout x∈]0;1] g(x)> g(1)

Conclure:
Ici je ne sais pas du tout, je ne comprends par sur quoi il faut conclure.

b) Reprendre ce raisonnement lorsque x∈]1; +infini[
Ici je ne sais absolument pas quoi faire .

]4)Démonstration algébrique
a) Montrer que pour tout x différent de 0 on a:

x²- $1x\frac{1}{x}$ = $(x−1)(x2+x+1)x\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x}$
$(x−1)(x2+x+1)x\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x}$ = $x3+x2+x−x2−x−1x\frac{x^{3}+x^{2}+x-x^{2}-x-1}{x}$
$(x−1)(x2+x+1)x\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x}$ = $x3−1x\frac{x^3-1}{x}$
$(x−1)(x2+x+1)x\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x}$ = $x3x−1x\frac{x^3}{x}-\frac{1}{x}$
$(x−1)(x2+x+1)x\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x}$ = $x2−1xx^2-\frac{1}{x}$

c) Justifier alors que, pour x<0, $x2−1xx^2-\frac{1}{x}$ a le même signe que (x-1)

Donner le tableau de signe et conclure.

Pour ces deux questions je ne sais pas quoi répondre..

Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour,

Je regarde un peu ce que tu as fait.

Pour la conclusion du 3)a)

f(1)=1 et f(x) < f(1) donc f(x) < 1

g(1)=1 et g(x) > g(1) donc g(x) > 1

Tu peux déduire que f(x) < 1 < g(x) donc f(x) < g(x)

Pour le 3)b)

utilise la même logique que pour le 3)a) pour prouver que f(x) > g(x)

Pour le 4)c) je lis mal que que tu as écrit...

Tu parles de x < 0 alors que c'est le cas "évident" ...c'est x> 0 qu'il faudrait étudier...

Reformule ta question .

Merci beaucoup de ton aide!

D'accord donc pour le 3)b) :

f est une fonction carré elle est donc décroissante sur ]0;+infini], par conséquent pour tout x∈]1;+infini] f(1)<f(x)

Est ce que je dois mettre un exemple pour justifier ?

g est une fonction inverse , elle est donc décroissante sur ]0;+infini[, par conséquent pour tout x∈]1;+infini] g(1)> g(x)

Exemple ?

Pour conclure, f(x)>1>g(x)
Donc f(x)>g(x)

Est ce correct ?

Pour le 4c) excusez moi c'est une erreur de frappe donc la question est : Justifier alors que pour x>0, x²-1/x a le même signe que (x-1).

Merci d'avance.

Tu as écrit :
Citation
f est une fonction carré elle est donc décroissante sur ]0;+infini]

ce doit être une erreur...il s'agit d'une fonction croissante ( et mets un crochet ouvert à +∞ , car +∞ n'est pas un nombre )

Tu n'as pas besoin de donner d'exemples ; il s'agit de "fonctions de référence" connues.

Pour la 4)c) , il te suffit d'utiliser la formule que tu as démontrée ( elle est là pour ça )

Pour x>0 , x²+x+1>0 ( somme de 3 nombres strictement positifs )

Donc , en utilisant la règle des signes d'un produit/quotient , $(x−1)(x2+x+1)x\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x}$ est du signe du facteur (x-1)

DONC :

$x2−1xx^2-\frac{1}{x}$ est du signe de (x-1)

Tu tire les conclusions :

**Pour 0 < x < 1 , (x-1) < 0 donc ...

Pour x=1 , x-1=0 donc...

Pour x > 1 , (x-1)> 0 donc...**

Oui oui c'est une erreur je voulais dire croissante.

D'accord j'ai compris merci beaucoup.

Pour la conclusion je ne suis pas sure du tout car je ne sais pas vraiment sur quoi il faut conclure.

Pour 0 < x < 1 , (x-1) < 0 donc x² -1/x < 0

Pour x=1 , x-1=0 donc x²-1/x=0

Pour x > 1 , (x-1)> 0 donc x²-1/x >0

Est ce correct ?

C'est exact mais ce n'est pas terminé.

Dans chaque cas il faut conclure sur f(x) et g(x)

Merci beaucoup pour votre aide mais je ne comprends pas très bien comment on sait le signe de (x-1) parce que moi je trouve que (x-1) est négatif pour x ∈ [0;1[ et positif pour x∈ ] 1; +infini[ donc comment justifier que x²-1/x a le même signe étant donné que (x-1) peut avoir deux signes ?Ne devrais pas plutot faire un tableau de signes ?

Pour 0 < x < 1 , (x-1) < 0 donc x² -1/x < 0 donc f(x)-g(x)<0

Pour x=1 , x-1=0 donc x²-1/x=0 donc f(x)-g(x)=0

Pour x > 1 , (x-1)> 0 donc x²-1/x >0 donc f(x)-g(x)>0

Est ce correct ?

Ta dernière réponse est correcte mais il faut compléter : "f(x) > g(x)" , "f(x)=g(x)" , "f(x) < g(x)" : c'est le but !

Remarque pour l'explication :

Si tu veux faire un tableau de signes , tu peux .

Il y aura deux lignes où il n'y aura que des "+" et la ligne de (x-1) où il y aura "-" "0" "+" .

Ok merci donc ca donne ça ?

Pour 0 < x < 1 , (x-1) < 0 donc x² -1/x < 0 donc f(x)-g(x)<0 donc f(x) > g(x)

Pour x=1 , x-1=0 donc x²-1/x=0 donc f(x)-g(x)=0 donc f(x)=g(x)

Pour x > 1 , (x-1)> 0 donc x²-1/x >0 donc f(x)-g(x)>0 donc f(x) < g(x)

pour le tableau je n'arrive pas a le faire parce que je n'arrive pas a trouver la valeur qui annule pour x²+x+1, une idée ?

déjà dit !

Citation
Pour x>0 , x²+x+1>0 ( somme de 3 nombres strictement positifs )

voila le tableau que j'ai réalisé est il correct ? $fichier math$

et pour ma conclusion (question 4c: conclure) (deux posts au dessus) est elle correct ?

Relis un peu l'ensemble de l'exercice car tu t'égares...

C'est sur**]0,+∞[** que tu travailles sur cette dernière partie ! ! !

De plus , l'explication donnée pour x²+x+1 (somme de trois termes strictement positifs ) n'est valable que pour x > 0

Pour répondre à cette question , si tu veux faire le tableau de variation , tu le fais sur ]0,+∞[

Remarque : tu as des confusions dans tes conclusions "deux posts au-dessus" ; relis ce que tu as écrit.