Trouver la solution d'une équation dans C

Bonjour je bloque sur un exercie

Voici l'enoncer :

Comment choisir le nombre complexe z pour que Z= z²+2z-3 soit réel ?
Soit E l'ensemble des Point M du plan complexe d'affixe z tels que Z soit un réel. Determiner E
On considére les points A et B d'affixe respective I=1. Soit M un plan d'affixe z distinct de A.
On pose Z=1-Z/i-z

determiner l'ensemble E des ponts M tels que Z soit un réel.
dETERMINER L4ENSEMBLE DES POINT F des points M tels que Z soit un immaginaire pur.

pour la premier question j'ai fait des calcul et j'ai trouver que Z est un réel si sa partie immaginaire est egale a zero.
je voulasi savoir si c'est possible d'avoir de l'aide détailler sur cette exercice car j'ai vraiment du mal a comprendre et j'aimerai vraiment szvoir bien le maitriser, s'il vous plais merci

Bonjour,

Une possibilité de résolution pour la question 1) consiste à poser z = a+ib. On obtient alors Z = $b^2+2,i,a,b+2,i,b+a^2+2,a-3$ . Par conséquent si l'on souhaite que Z soit réel, sa partie imaginaire doit effectivement être nulle. Il s'en suit que 2b(a+1) = 0 ce qui donne b = 0 (solution triviale car elle dit que z est réel) ou a = -1. Ces calculs sont à revérifier car je ne suis pas à l'abri d'une erreur !

Cordialement.

merci pour l'aide
pour la question n°2 je ne voit plus du tous comment faire

Pour la question 2, l'expression de Z est-elle Z=(1-z)/(i-z) ? D'autre part, A et B ont-ils pour affixe respective i et 1 ?

oui c'est bien ça

OK. Le cours nous permet d’écrire arg(Z) = arg[(1-z)/(i-z)] = (MA,MB) (en vecteurs). Or, puisque Z doit être réel, il vient que arg(Z) = 0 ou arg(Z) = π, et donc (MA,MB) = 0 ou (MA,MB) = π, Par conséquent, l'ensemble E sera la droite (AB) privée du point A.

Nous avons pas encore vu les argument
Mais est ce possible de résoudre avec z= x+iy, je remplace les valeur de z par cela puis la quantité conjuger du denominateur mais apre je n'arrive pas a develloper et factoriser

En posant z = a+ib, j'obtiens, après avoir multiplié numérateur et dénominateur par la partie conjuguée du dénominateur: Z = $b2+i,b−b+a2+i,a−a−ib2−2,b+a2+1{{b^2+i,b-b+a^2+i,a-a-i}\over{b^2-2,b+a^2+1}}$ . Si Z est réel alors a+b = 1. Donc par exemple z = 1-b - ib qui semble bien décrire la droite (AB) (privée du point A).

je ne comprend pas pourquoi vous mettez dea b² et a²
moi j'ai poser soit Z = x+iy
donc 1-(x+iy)/i-(x+iy)
apres avoir multiplier par la quantité conjuguer j'arrive pas a dvt et factoriser
merci

J'obtiens des b² et a² car j'avais pose z = a+ib. En posant z = x+iy, on obtiendrait des y² et x². En partant de (1-z)/(i-z) = [1-(x+iy)]/[i-(x+iy)], on peut ensuite écrire [1-(x+iy)]/[i-(x+iy)] = [1-x-iy]/[i-x-iy] = (1-x-iy)(-x-i+iy)/[(-x+i-iy)(-x-i+iy)] ce qui permettra d’éliminer la partie imaginaire du dénominateur (il suffit de développer et de simplifier ce dernier pour le vérifier).

d'accord,
Mais je voulais savoir une fois que j'ai simplifier comment je fais pour que chercher les points E des points M tel que Z soit un réel ?

Après simplification, on obtient Z = $y2+i,y−y+x2+i,x−x−iy2−2,y+x2+1{{y^2+i,y-y+x^2+i,x-x-i}\over{y^2-2,y+x^2+1}}$ . Donc, si Z doit être réel, sa partie imaginaire est nulle: iy+ix-i = 0 soit y+x-1 = 0 ou encore y = 1-x. Est-ce clair ?

Oui c'est clair, oui j'ai bien troiver ceci apres simplification
Ce que je voumais savoir c'est que je doit chercher les points E des points M tel que Z soit un réel ?
l'ensemble de E je ne voit pas comment la trouver ?

L'ensemble des points est tel que y = 1-x. Autrement dit, il s'agit de la droite (AB) (privée du point A pour que le dénominateur de Z=(1-z)/(i-z) soit non nul).

merci de votre aide mais dsl de vous embéter encore en relisants les étapes précédante je me rends compte q'ui il y a quelquechose que je n'ai pas bien assimiler :
pour le calcul de : Z = (y²+iy-y+x²+ix-x-i)/(y²-2y+x²+1)
comment vous avez fait pour savoir que c'est la droite Y=X
Parceque moi au depard je penser que c'étais une équation de cercle
merci

Il n'y a pas de souci (si je viens sur ce forum c'est pour aider !). Une fois que l'on a abouti à Z = (y²+iy-y+x²+ix-x-i)/(y²-2y+x²+1), on voit que pour rendre ce nombre réel, il faut que iy+ix-i = 0 car alors Z = (y²-y+x²-x)/(y²-2y+x²+1): il n'y a plus de terme en i et Z est bien réel. Si maintenant on repart sur iy+ix-i = 0, on peut simplifier par i soit y+x-1 = 0 ou encore y = 1-x qui est l’équation de la droite (AB).

Merci de votre reponse
je voulais savoir q'elle sest la difference entre une équation de droite et d cercle autremendit dans quelle circonstance aurait-on utiliser l'equation de cercle.

Une équation de droite est plus simple: elle est de la forme ax + by + c = 0 où a, b et c sont des réels. Une équation de cercle peut être de la forme $x-a)^2$ + $y-b)^2$ = $R^2$ pour un cercle centré en $ω\omega$ (a,b) et de rayon R. En développant, ceci donne $x^2$ - 2ax + $a^2$ + $y^2$ - 2by + $b^2$ = $R^2$ . Une équation de cercle comporte donc toujours des $x^2$ et des $y^2$ (mais toutes les équations avec des carrés ne sont pas des équations de cercle !).

Le fait de devoir "utiliser" une équation de droite ou de cercle dépend du contexte de l’énoncé. Ici, nous sommes tombés sur y+x-1 = 0 qui est bien de la la forme ax + by + c = 0 et c’était donc une équation de droite (ce ne pouvait par ailleurs être une équation de cercle puisqu'il n'y avait pas de carré).

d'accod merci beaucoup,
mais si j'ai bien compris pour rechercher l'ensemble des solution il faut s'interesser a la partie immaginaire.

Bonsoir,

homeya ne semble pas être là.

Je te donne seulement une indication sur la méthode à appliquer

Aves les notations usuelles :
Re(Z) partie réelle de Z et Im(Z) partie imaginaire de Z

**Z=Re(Z)+iIm(Z)

Z réel <=> Im(Z)=0

Z imaginaire pur <=> Re(Z)=0**