formule de Pascal
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Llinam dernière édition par
Bonsoir
Besoin d'aideDémonstration : Parmi les n objets, on considère un objet en particulier :
- si cet objet fait partie des p objets tirés, il y a (n-1 p-1) possibilités de choisir les p - 1 autres objets parmi les n - 1 objets restants.
si en revanche, cet objet ne fait pas partie du tirage, il y a (n-1 p) possibilités de choisir les p autres objets parmi les n - 1 objets restants.
Donc pour choisir p objets parmi n : (n-1 p-1)+(n-1 p)=(n p)
J'ai tout compris sauf ce qui est en gras, je ne comprends pas la conséquence, le lien avec le reste.
Pouvez-vous m'éclairer svp ?Merci
- si cet objet fait partie des p objets tirés, il y a (n-1 p-1) possibilités de choisir les p - 1 autres objets parmi les n - 1 objets restants.
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
J'essaie de compléter l'explication en utilisant les mêmes termes que toi.
Au départ , tu as un ensemble E composé de n éléments.
On choisit une combinaison F de E ( c'est à dire on choisit p éléments de E )
Il y a (np){{n}\choose {p}}(pn) façons de faire ce choix donc le nombre total N de ces combinaisons est
n=(np)n={{n}\choose {p}}n=(pn)
Ce nombre N va être décomposé en somme de deux nombres N1 et N2
DEMONSTRATION :
Parmi les n objets, on considère un objet a en particulier :
Il y a deux cas possibles disjoints
1er cas : a ∈ F.
il y a (n−1p−1){{n-1}\choose {p-1}}(p−1n−1) possibilités de choisir les (p - 1) autres objets parmi les (n - 1) objets restants.
Le nombre de ces combinaisons est N1 :
n1=(n−1p−1)n_1={{n-1}\choose {p-1}}n1=(p−1n−1)
2eme cas : a ∉ F.
il y a (n−1p){{n-1}\choose {p}}(pn−1) possibilités de choisir les (p) autres objets parmi les (n - 1) objets restants.
Le nombre de ces combinaisons est N2
n2=(n−1p)n_2={{n-1}\choose {p}}n2=(pn−1)
**Conclusion :
N=N1+N2** d'où la formule souhaitée !
(np)=(n−1p−1)+(n−1p){{n}\choose {p}}={{n-1}\choose {p-1}}+{{n-1}\choose {p}}(pn)=(p−1n−1)+(pn−1)
Remarque : rappel à Linam
Les doublons ne sont pas autorisés.