Montrer qu'une suite est différente d'un nombre donné


  • C

    Bonjour,

    J'ai beaucoup de mal avec cet exercice.. J'aimerais bien un peu d'aide pour démarrer..

    Soi u et v des suites telles que pour tout n appartenant à , Vn = ( 2(3Un-5) ) / ( 15(Un+5) ) ( on admet que Un -5 est toujours vérifié)

    Partie A :

    1. Démontrer que : pour tout n appartenant à N , Vn est différent de (2/5)

    2. Pour n appartenant à n, exprimer Un en fonction de Vn

    Voilà ce que j'ai fait :

    1. n , Vn= ( 6Un -10) / ( 15Un +75)

    Cela ne suffit pas bien évidemment pour démontrer que Vn est différent de (2/5) Je ne sais pas trop comment faire..


  • mtschoon

    Bonjour,

    Faute de frappe je pense :
    Citation
    Un -5 est toujours vérifié?

    1. Piste possible : tu peux raisonner par l'absurde

    Tu parles de vn=25v_n=\frac{2}{5}vn=52

    Tu calcules le UnU_nUn correspondant et tu dois trouver une impossibilité.


  • C

    oui c'est Un différent de -5 est toujours vérifié


  • C

    Et je passe le 2/5 de l'autre côté
    Vn - (2/5) = 0
    Et je calcule ?


  • mtschoon

    Passer 2/5 de l'autre côté ne sert pas vraiment...

    Tu pars de : 2(3un−5)15(un+5)=25\frac{2(3u_n-5)}{15(u_n+5)}=\frac{2}{5}15(un+5)2(3un5)=52


  • C

    Je ne comprends pas quel calcul dois-je effectuer..


  • mtschoon

    Tu fais les produits en croix , tu développes , tu transposes, etc


  • C

    Merci beaucoup !


  • mtschoon

    De rien .


  • Zeïnab Mahamadou

    Ce message a été supprimé !

  • mtschoon

    @Zeïnab-Mahamadou , bonjour
    N'oublie pas un petit "bonjour" ou "bonsoir" quand tu viens sur le forum.

    @mtschoon a dit dans Montrer qu'une suite est différente d'un nombre donné :

    Passer 2/5 de l'autre côté ne sert pas vraiment...

    Tu pars de : 2(3un−5)15(un+5)=25\frac{2(3u_n-5)}{15(u_n+5)}=\frac{2}{5}15(un+5)2(3un5)=52

    Tu résous cette équation d'inconnue UnU_nUn ( sachant que Un≠−5U_n \ne -5Un=5) et tu trouves une impossibilité.


  • Zeïnab Mahamadou

    @mtschoon Bonsoir, svp comment résoudre cet exercice
    On considère la suite numérique (Un) définie sur N par: Uo= -1
    Un+1= 9/6-Un

    1. Démonter par récurrence que pour tout entier naturel Un est différent de 3
    2. On pose Vn= 1/Un-3. Montrer que (Vn) est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme
      a) Exprimer Vn , puis Un en fonction de ´
      b) on pose S=Vo+V1+…….+Vn . Exprimer Sn en fonction de n

  • B

    @Zeïnab-Mahamadou a dit dans Montrer qu'une suite est différente d'un nombre donné :

    @mtschoon Bonsoir, svp comment résoudre cet exercice
    On considère la suite numérique (Un) définie sur N par: Uo= -1
    Un+1= 9/6-Un

    1. Démonter par récurrence que pour tout entier naturel Un est différent de 3
    2. On pose Vn= 1/Un-3. Montrer que (Vn) est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme
      a) Exprimer Vn , puis Un en fonction de ´
      b) on pose S=Vo+V1+…….+Vn . Exprimer Sn en fonction de n

    Bonjour,

    Tu ne dois pas poser tes questions dans un sujet ouvert par un autre participant.
    Il faut ouvrir un autre post pour poser tes propres questions.

    Il faut aussi apprendre à utiliser les parenthèses correctement.
    Je présume que tu as voulu écrire Un+1=96−UnU_{n+1} = \frac{9}{6-U_n}Un+1=6Un9, ce que tu as écrit n'est pas cela du tout.

    Si UnU_nUn < 333, on a
    −Un-U_nUn > −3-33
    6−Un6-U_n6Un > 6−36-363
    6−Un6-U_n6Un > 333
    16−Un\frac{1}{6-U_n}6Un1 < 13\frac{1}{3}31
    96−Un\frac{9}{6-U_n}6Un9 < 93\frac{9}{3}39
    Un+1U_{n+1}Un+1 < 333

    Donc si UnU_nUn < 333, on a aussi Un+1U_{n+1}Un+1 < 333 (1)

    Comme U0=−1U_0 = -1U0=1 < 3, par (1), on a :
    Pour tout n de N, on a UnU_nUn < 333
    Et donc, on n'a jamais Un=3U_n = 3Un=3

    Essaie de faire le 2 ...


  • Zeïnab Mahamadou

    @Black-Jack bonsoir,
    Au fait c’est la première que je me retrouve ici , donc j’avais aucune idée de comment on procède. Merci pour le conseil . J’y veillerai prochainement

    Et du coup , j’essaye Un<3 et Un >3 ?


  • mtschoon

    @Zeïnab-Mahamadou , bonjour,

    Il n'est pas correct d'effacer sa question lorsqu'on a eu une réponse, comme tu l'as fait en demandant un complément d'information sur la question de @Camy13 .
    C'est la première fois que tu viens ici, mais si tu reviens à nouveau, il va falloir prendre de bonnes habitudes...

    Si j'ai bien compris la question actuelle (pour laquelle tu aurais dû ouvrir ta propre discussion) est :

    @Zeïnab-Mahamadou a dit dans Montrer qu'une suite est différente d'un nombre donné :

    @mtschoon Bonsoir, svp comment résoudre cet exercice
    On considère la suite numérique (Un) définie sur N par: Uo= -1
    Un+1= 9/6-Un

    1. Démonter par récurrence que pour tout entier naturel Un est différent de 3
    2. On pose Vn= 1/Un-3. Montrer que (Vn) est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme
      a) Exprimer Vn , puis Un en fonction de ´
      b) on pose S=Vo+V1+…….+Vn . Exprimer Sn en fonction de n

    A la question 1
    Pour tout nnn de NNN :
    U0=−1U_0=-1U0=1 et Un+1=96−UnU_{n+1}=\dfrac{9}{6-U_n}Un+1=6Un9 (il faut des parenthèses, vu que tu n'utilises pas le Latex)
    A mon goût, aurait été souhaitable que l'énoncé commence par préciser que pour tout nnn de NNN, Un≠6U_n\ne 6Un=6, comme cela avait été indiqué dans l'énoncé de @Camy13 ).

    Pour la récurrence de la 1), tu dois expliciter la démarche.
    Initialisation à l'ordre 0
    U0=−1U_0=-1U0=1 donc U0≠3U_0\ne 3U0=3
    Hérédité
    Tu supposes Un≠3U_n\ne 3Un=3 et tu dois prouver que Un+1≠3U_{n+1}\ne 3Un+1=3

    Tu peux fort bien utiliser la démarche de la réponse Black-Jack

    Autre façon :
    Equivalences logiques
    Un+1=3U_{n+1}=3Un+1=3 <=>96−Un=3\dfrac{9}{6-U_n}=36Un9=3<=>9=3(6−Un)9=3(6-U_n)9=3(6Un)
    Un+1=3U_{n+1}=3Un+1=3 <=>3=6−Un3=6-U_n3=6Un<=> Un=3U_n=3Un=3

    Vu que Un≠3U_n\ne 3Un=3, tu peux conclure Un+1≠3U_{n+1}\ne 3Un+1=3

    CQFD

    Essaie de poursuivre.


  • mtschoon

    @Zeïnab-Mahamadou , je regarde la question 2

    Tu as oublié encore les parenthèses...
    Tu aurais dû écrire Vn=1/(Un-3), c'est à dire, en Latex :
    Vn=1Un−3V_n=\dfrac{1}{U_n-3}Vn=Un31

    Pour répondre à la question, calcules Vn+1−VnV_{n+1}-V_nVn+1Vn en fonction de UnU_nUn

    Après simplifications, tu dois trouver, sauf erreur :
    Vn+1−Vn=−13V_{n+1}-V_n=-\dfrac{1}{3}Vn+1Vn=31

    (Vn)(V_n)(Vn) suite arithmétique de raison −13-\dfrac{1}{3}31
    Tu calcules le premier terme V0V_0V0

    Pour terminer, utilise ton cours sur les suites arithmétiques.

    Bons calculs


  • B

    @Zeïnab-Mahamadou a dit dans Montrer qu'une suite est différente d'un nombre donné :

    @Black-Jack bonsoir,
    Au fait c’est la première que je me retrouve ici , donc j’avais aucune idée de comment on procède. Merci pour le conseil . J’y veillerai prochainement

    Et du coup , j’essaye Un<3 et Un >3 ?

    Bonjour,

    Il est ici inutile de traiter de cas "Si Un > 3".
    L'énoncé précise que U0 = -1 (donc < 3)
    ... et j'ai montré que sous cette condition (imposée par l'énoncé), on aurait tous les Un < 3 ... donc pas possible d'avoir Un = 0, pas plus que d'avoir Un > 3.

    Si l'énoncé n'avait pas imposé U0 < 3 alors il n'aurait pas été suffisant de n'étudier que le cas Un < 3.


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