Ecrire un nombre complexe sous forme algébrique / trigonométrique

Bonsoir, je laisse un message sur ce forum car je bloque sur la dernière question d'un exercice sur les complexes. Je vais donc rédiger l'énoncé et les réponses aux questions précédentes car elles sont utiles pour résoudre celle que je ne trouve pas :

On considère le nombre complexe z=1-√(3) + i(1+√(3))

Écrire z² sous forme algébrique
Déterminer le module et un argument de z²
Déterminer la forme trigonométrique de z
En déduire la valeur exacte de cos(7π/12) et sin(7π/12)
Pour z² je trouve -4√3 -4i
Je trouve donc |z²|=√(-4√(3))²+(-4)² = √(64) = 8
Puis cos θ = -4√(3)/8 = -√(3)/2
et sin θ = -4/8 = -1/2
Soit arg(z²)= 7π/6 [2π]
On sait que |z²|=|z|.|z|
Soit |z|=√(8)
De plus, arg(z²)=arg(z)+arg(z)
Soit arg(z²)=2arg(z)
Donc arg(z)=7π/6 x 1/2 = 7π/12

La forme trigonométrique de z est : z=√(8).(cos(7π/12)+isin(7π/12)

Et voila la question qui me pose problème. Je connais cos (7π/6) et sin (7π/6) et je ne pense pas que cela soit possible de procéder comme suit : cos (7π/12) = 1/2 cos (7π/6). Y a t-il une propriété à appliquer ?

Bonsoir,

Tu as presque tout fait :

$z=1−3+i(1+3)=22(cos⁡7π12+isin⁡7π12)z=1-\sqrt 3+i(1+\sqrt 3)=2\sqrt 2(\cos\frac{7\pi}{12}+i\sin \frac{7\pi}{12})$

En identifiant les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles , tu pourras obtenir les réponses cherchées.

Donc on obtient :
z= 1-√(3) +i(1+√(3)) = 2√(2)(cos(7π/12)+isin(7π/12))
Soit cos(7π/12)= (1-√(3))/2√(2)
et sin(7π/12)= (1+√(3))/2√(2)

Je vous remercie pour votre aide

C'est bon !