Equation cartésienne d'un cercle

Bonjour,

J'ai un soucis avec un exercice de mon DNS. En voici l'énnoncé:

Dans un repère orthonormée (0,i,j) on donne les points:
A(0;3), B(-1;0) et C(4;0)

Déterminez les coordonnées de l'orthocentre H du triangle ABC.
Déterminez les coordonnées du centre W du cercle circonscrit au triangle ABC.
Déterminez une équation cartésienne du cercle circonscrit au triangle ABC.
Déterminez les coordonnées du deuxième point d'intersection de ce cercle avec l'axe des ordonnées.
Je sais que l'orthocentre est le point d'intersection des hauteurs du triangle ABC, je pensais donc cherché les équations cartésiennes de 2 hauteurs de ABC. Mais je suis déjà bloqué, je ne peux donc pas aller plus loin dans l'exercice.
Quelqu'un pourrait-il me donner une piste, de manière à ce que je puisse avancer s'il-vous-plaît?

Merci.
Naëlle

Bonjour,
Commence par faire une figure : tu verras que le triangle ABC est particulier.

Je pense ne pas me tromper mais au cas où: ce qu'on peut remarquer c'est que le pied de la hauteur passant par A est 0, c'est bien ça?

Oui, la droite (AO) est une des hauteurs.
Mais tu ne réponds pas à ma question : le triangle ABC est particulier : serait-il rectangle ? isocèle ? équilatéral ? rectangle-isocèle ?

Il est isocèle en C, non?

Oui, mais tu dois le démontrer. Calcule les distances AC et AB.

D'accord, mais puisque que ABC est isocèle en C, on ne doit pas plutôt calculer AC et BC?

D'accord, mais puisque que ABC est isocèle en C, on ne doit pas plutôt calculer AC et BC?

Si si, c'est une faute de frappe. Excuse-moi.

En utilisant la méthode u(x;y) ; llull=√(x²+y²)
Je ne trouve pas la même chose pour AC et pour BC: √7 et 5 respectivement.

Détaille les calculs.
Pour AC, par exemple, le vecteur que tu appelles u est le vecteur AC : quelles sont ses coordonnées ?

Suite du message : est-ce que tu n'aurais pas oublié les élévations au carré ?

Non je ne pense pas ... Voici ce que j'ai fait: A(0;3), B(-1;0) et C(4;0)
AC(4;-3) donc llACll= √(4²-3²) = √(16-9) = √7
BC(5;0) donc llBCll= √(5²-0²) = √25 = 5

En effet, c'est plus grave qu'un simple oubli :
Citation
AC(4;-3) donc llACll= √(4²-3²)Non : ||AC|| = √[(4)²
+(-3)²] = √[16
+9] = √25 = 5.

Ah oui, les parenthèses! En effet avec le carré ça change tout j'avais oublié :s
Merci!

Maintenant que tu sais que le triangle est isocèle en C, tu en déduis que la hauteur issue de C est aussi la médiane relative au côté [AB].
Il te suffit donc :
de calculer les coordonnées I du milieu de [AB],
de déterminer l'équation de la droite (AI) : tu auras ainsi ta seconde hauteur.

L'équation cartésienne de la hauteur AO est bien x=0?

Oui.
Je dois maintenant me déconnecter.
A+ si tu ne trouves personne d'autre pour t'aider.
Mais avec ce qu'on a déjà vu, tu es sur la bonne voie.

Merci beaucoup! Au revoir

Au risque de parler dans le vide, mais si quelqu'un pourrait m'aider: J'ai trouvé les hauteurs et le point H orthocentre de ABC.

Maintenant, je cherche les médiatrices. J'en ai trouvé une, la médiatrice de [AB] qui est égale à la hauteur issue de C puisque ABC est isocèle en ce point. Mais je n'arrive pas à en trouver une autre. Peut-on me donner un indice?

Merci.

Bonsoir mamanou59 ,

Mathtous continuera de te répondre demain , quand il sera là.

Pour trouver une autre médiatrice , la plus simple possible , je te conseille la médiatrice de [BC].

Elle passe par J milieu de [BC] et est perpendiculaire à [BC] donc parallèle à l'axe des ordonnées .

Tu calcules $x_J$

L'équation de cette médiatrice sera $x=x_J$

Bon calcul !

Merci beaucoup, j'ai trouvé la solution et les coordonnées du point W.
A présent, il me faut chercher l'équation cartésienne du cercle circonscrit de ABC, de centre W(3/2;5/6). J'ai fait les calculs mais le résultat me paraît un peu improbable...

Voici ce que j'ai fait:

A(0;3), W(3/2;5/6)
WA²=R²
(0-3/2)²+(3-5/6)²=R²
9/4+ 169/36=R²
125/18=R²
R = racine(125/18)
M(x;y) et W(3/2;5/6)
WM²= 125/18
(x-3/2)²+(y-5/6)²= 125/18
x²+y²-3x-(5/3)y+(9/2)+(25/36)=125/18
x²+y²-3x-(5/3)y-(7/4)=0

Est-ce que je n'aurai pas fait une erreur quelque part?

Merci de vos réponses.

L'erreur : ce n'est pas 9/2, c'est 9/4
Donne tes réponses précédentes : équation de la droite (AI), coordonnées de l'orthocentre, comment as-tu obtenu les coordonnées de W.

Voici ce que j'ai trouvé pour les 2 premières questions:

OA (0;3) est un vecteur directeur de la hauteur issue de A (Ha).
Ha : 3x+c = 0
O appartient à la droite (Ha) donc c=0
Ha: x = 0

La hauteur issue de C est la même droite que la médiatrice du côté opposé de C, AB.
D(-1/2;3/2) est le milieu de [AB].
CD(-9/2;3/2)
Hc : 3/2x+9/2y+c = 0
D appartient à la hauteur (Hc)
donc c = -3/2*(-1/2)-9/2*3/2 = -6
Hc : x+3y-4 = 0

J'ai trouvé l'orthocentre H en résolvant un système d'équation à deux inconnues.

x = 0 x = 0 x = 0
0+3y-4 = 0 3y = 4 y = 4/3

Donc H(0;4/3)

Hc = med AB: x+3y-4

E(3/2;0) milieu de BC et BC(5;0) est un vecteur normal à la médiatrice de BC.
donc med BC : 5x+c = 0
E appartient à BC donc c = -5*3/2
donc med BC : 5x-15/2 = 0
med BC: x = 3/2

J'ai trouvé le centre du cercle circonscrit en résolvant encore une fois un système d'équation à deux inconnues.

x = 3/2 x=3/2 x = 3/2
3/2+3y-4 = 0 3y = 5/2 y = 5/6

Donc W(3/2;5/6)

Citation
Ha : 3x+c = 0
O appartient à la droite (Ha) donc c=0
Ha: x = 0
Je ne comprends pas ce que tu as fait: que représentent ici x et c ?

Le reste me semble correct.
Pour l'équation du cercle, je t'ai signalé l'erreur.
Pour la dernière question, il te suffit de connaître l'équation de la droite (OA) et de résoudre le système qu'elle forme avec celle du cercle : tu retrouveras le point A et un autre point.

J'ai utilisé la formule ax+by+c = 0
J'ai remplacé les termes a et b pour les coordonnées du vecteur (-b;a) :
a = 5 et b = 0.
J'ai ensuite cherché le terme c en utilisant un point appartenant à la droite:
et puisque que le point O(0;0) alors c=0.

Merci de m'avoir donner une piste pour la question suivante.

Je vois : tu as voulu utiliser le fait que Ha est perpendiculaire à (BC).
Mais a droite Ha n'est autre que la droite (AO).
Il est évident que son équation est x = 0 (droite parallèle au second axe et passant par O).