Dresser le tableau de variation d'une fonction

[Clem36]

Bonjour, j'ai un devoir maison pour la rentrée et je bloque sur un des exercices. Si quelqu'un comprend, aidez-moi svp. Merci.

Voici le sujet:
Un grand lessivier commercialise son produit pour lave-vaisselle sous forme solide. Les doses se présentent sous forme de parallélépipède rectangle de dimensions x , y et 2x en centimètres (1≤ x ≤2). Chaque lavage nécessite une dose d'un volume de 12cm cube. Pour économiser l'emballage, on cherche une surface totale minimale.

1. Faire un schéma et exprimer y en fonction de x.

2.a) Montrer que la surface totale de ce parallélépipède est de S(x) = 4x² + 36/x sur [1;2].

b) Montrer que S'(x) a le même signe que x³-9/2 .

3. Etude d'une fonction auxiliaire

a) Dresser le tableau de varaition de la fonction u définie sur [1;2] par u(x)= x³ - 9/2 .

b) En déduire que l'équation u(x)=0 a une unique solution alpha dans [1;2] et en donner une valeur approchée à la calculatrice à 0.1 près.

c) En déduire le signe de u(x) suivant les valeurs de x.

4. En déduire le tableau de variation de S

5. a) Quelle valeur de x rend S minimale?

b) Quelle est la surface minimale d'une dose de produit?

[mtschoon]

Bonjour,

Pistes pour démarrer,

Je suppose que tu as fait un schema.

Soit V le volume du parallélépipède rectangle

En $c{m}^3$ , V=x(y)(2x)=12

Tu peux déduire que $y=\frac{12}{2x^2}=\frac{6}{x^2}$

La surface totale des 6 faces ( égales deux à deux ) vaut : 2(xy)+2(2xy)+2(x2x)

Dans cette expression , tu remplaces y par 6/x² , tu réduis au mieux et tu trouveras l'expression de S(x) souhaitée

[Clem36]

Merci pour votre aide

[Clem36]

Mais je trouve $4x^2+\frac{36}{x^2}$

[mtschoon]

Tu t'est trompé ...il y a des simplifications par x . Recompte.

[Clem36]

$2(x\times \frac{6}{x^2})+2(2x\times \frac{6}{x^2})+2\times 2x^2=\frac{12x}{x^2}+\frac{24x}{x^2}+4x^2=\frac{36}{x^2}+4x^2$

[mtschoon]

Avec ton calcul , tu trouves $\frac{36x}{x^2}+4x^2$

Ensuite , tu fais une simplification par x

[Clem36]

Ah oui c'est bon