petit exercice sur les complexes...



  • Bonjour à toutes et à tous !
    Voilà : J'ai la possibilité de faire ces vacances un devoir maison facultatif, et je bloque sur un exercice : Si vous pourriez m'aider... Merci 😄 !! voilà l'énoncé :
    a, b et c sont trois nombres complexes tels que :
    |a| = |b| = |c| = 1 et a + b + c = 0
    Démontrer que a^3 = b^3 = c^3

    Je ne suis pas obligé de rendre ce devoir, mais c'est juste par curiosité de voir comment il faudrait faire pour démontrer ceci.. Merci encore !!



  • Salut,

    Soient z, z' et z'' des nombres complexes.
    Donc il existe r et s des réels tels que z = r + is.
    Donc il existe r' et s' des réels tels que z' = r' + is'.
    Donc il existe r'' et s'' des réels tels que z'' = r'' + is''.

    *** |z| = sqrtsqrt(r²+s²)

    Or :
    |z| = 1
    equiv/
    sqrtsqrt(r²+s²) = 1
    equiv/
    r²+s² = 1*** z + z' + z'' = (r + r' + r'') + i(s + s' + s'')

    Or :
    z + z' + z'' = 0
    equiv/
    (r + r' + r'') + i(s + s' + s'') = 0 = 0 + i*0
    equiv/
    r + r' + r'' = s + s' + s'' = 0

    De plus : z^3 = z'^3 = z''^3 equiv/ z^3 - z'^3 = z^3 - z''^3 = 0 equiv/ Re(z^3 - z'^3) = Im(z^3 - z'^3) = Re(z^3 - z''^3) = Im(z^3 - z''^3) = 0

    A toi de résoudre...


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