petit exercice sur les complexes...

[Invité]

Bonjour à toutes et à tous !
Voilà : J'ai la possibilité de faire ces vacances un devoir maison facultatif, et je bloque sur un exercice : Si vous pourriez m'aider... Merci !! voilà l'énoncé :
a, b et c sont trois nombres complexes tels que :
|a| = |b| = |c| = 1 et a + b + c = 0
Démontrer que a^3 = b^3 = c^3

Je ne suis pas obligé de rendre ce devoir, mais c'est juste par curiosité de voir comment il faudrait faire pour démontrer ceci.. Merci encore !!

[madvin]

Salut,

Soient z, z' et z'' des nombres complexes.
Donc il existe r et s des réels tels que z = r + is.
Donc il existe r' et s' des réels tels que z' = r' + is'.
Donc il existe r'' et s'' des réels tels que z'' = r'' + is''.

*** |z| = $sqrt$(r²+s²)

Or :
|z| = 1
equiv/
$sqrt$(r²+s²) = 1
equiv/
r²+s² = 1*** z + z' + z'' = (r + r' + r'') + i(s + s' + s'')

Or :
z + z' + z'' = 0
equiv/
(r + r' + r'') + i(s + s' + s'') = 0 = 0 + i*0
equiv/
r + r' + r'' = s + s' + s'' = 0

De plus : z^3 = z'^3 = z''^3 equiv/ z^3 - z'^3 = z^3 - z''^3 = 0 equiv/ Re(z^3 - z'^3) = Im(z^3 - z'^3) = Re(z^3 - z''^3) = Im(z^3 - z''^3) = 0

A toi de résoudre...